(Derivadas pela definição) Use o limite da taxa de variação média para calcular:
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
- Pede-se calcular a derivada de
usando o limite da taxa de variação média. - A função dada é
. - Informação útil: o domínio natural de
é (porque não se pode tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos reais). - Objetivo prático: encontrar
.
Passo 2
Escrever a definição da derivada e explicar o que cada coisa significa.
- A definição que vamos usar é
- Aqui
é um pequeno incremento na variável . A expressão dentro do limite é a “taxa de variação média” de entre e . Tomando obtemos a taxa de variação instantânea (a derivada). - Substituímos
na fórmula para obter o quociente de diferenças que precisamos calcular.
Passo 3
Substituir e escrever o quociente de diferenças explícito.
- Substituindo, temos
- Observação: tanto o numerador quanto o denominador tendem a
quando , então precisamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação antes de calcular o limite.
Passo 4
Explicar e aplicar o truque algébrico (racionalizar o numerador) para simplificar o quociente.
- Quando temos diferença de raízes no numerador, um truque clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é
. Isso transforma a diferença de raízes numa diferença de quadrados, que simplifica bastante. - Multiplicando por
na forma do conjugado:
- No numerador aplicamos a identidade
. Assim:
- Logo a expressão simplifica para
Passo 5
Cancelar
e escrever a expressão preparada para o limite.
- Cancelando o fator
(válido para , e lembrando que o limite considera próximo de mas distinto de ), obtemos
- Agora já temos uma expressão que tem um limite finito quando
, desde que os termos dentro das raízes façam sentido (ver discussão de domínio a seguir).
Passo 6
Calcular o limite quando
.
- Tomando
na expressão obtida, as raízes convergem para a mesma coisa, então
- Esta é a fórmula da derivada para os pontos interiores do domínio onde a expressão está bem definida.
Passo 7
Discussão sobre o domínio da derivada e o ponto
.
- Para que todo o processo (usar
positivo e negativo pequenos) funcione, precisamos que para suficientemente pequeno em torno de . Isso exige . Portanto a fórmula vale para . - No ponto extremo
a função está definida, mas ao tentar calcular a derivada diretamente:
Para
isso é
que tende a
quando
. Para
a expressão nem está definida (porque
não é real). Portanto não existe derivada finita em
(há uma tangente vertical / derivada indefinida no ponto extremo).
Passo 8
Resumo final e incentivo.
- Concluímos que a derivada da função dada, calculada pela definição (limite da taxa de variação média) é
para
. No ponto
a derivada não existe (não é finita).
- Bom trabalho até aqui — você dominou o truque da racionalização, que é o passo chave para derivar raízes pela definição. Respira fundo e parte pra próxima!