(Derivadas pela definição) Use o limite da taxa de variação média para calcular:
f(x)=\sqrt{x+1}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede-se calcular a derivada de f usando o limite da taxa de variação média.
  • A função dada é f(x)=\sqrt{x+1}.
  • Informação útil: o domínio natural de f é x\ge -1 (porque não se pode tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos reais).
  • Objetivo prático: encontrar f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 2

Escrever a definição da derivada e explicar o que cada coisa significa.
  • A definição que vamos usar é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • Aqui h é um pequeno incremento na variável x. A expressão dentro do limite é a “taxa de variação média” de f entre x e x+h. Tomando h\to0 obtemos a taxa de variação instantânea (a derivada).
  • Substituímos f(x)=\sqrt{x+1} na fórmula para obter o quociente de diferenças que precisamos calcular.

Passo 3

Substituir e escrever o quociente de diferenças explícito.
  • Substituindo, temos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+1+h}-\sqrt{x+1}}{h}.
  • Observação: tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando h\to0, então precisamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação antes de calcular o limite.

Passo 4

Explicar e aplicar o truque algébrico (racionalizar o numerador) para simplificar o quociente.
  • Quando temos diferença de raízes no numerador, um truque clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é \sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}. Isso transforma a diferença de raízes numa diferença de quadrados, que simplifica bastante.
  • Multiplicando por 1 na forma do conjugado:
\frac{\sqrt{x+1+h}-\sqrt{x+1}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}} = \frac{\big(\sqrt{x+1+h}-\sqrt{x+1}\big)\big(\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}\big)}{h\big(\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}\big)}.
  • No numerador aplicamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Assim:
\big(\sqrt{x+1+h}\big)^2-\big(\sqrt{x+1}\big)^2 = (x+1+h)-(x+1)=h.
  • Logo a expressão simplifica para
\frac{h}{h\big(\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}\big)}.

Passo 5

Cancelar h e escrever a expressão preparada para o limite.
  • Cancelando o fator h (válido para h\neq0, e lembrando que o limite considera h próximo de 0 mas distinto de 0), obtemos
\frac{1}{\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}}.
  • Agora já temos uma expressão que tem um limite finito quando h\to0, desde que os termos dentro das raízes façam sentido (ver discussão de domínio a seguir).

Passo 6

Calcular o limite quando h\to0.
  • Tomando h\to0 na expressão obtida, as raízes convergem para a mesma coisa, então
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+1+h}+\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
  • Esta é a fórmula da derivada para os pontos interiores do domínio onde a expressão está bem definida.

Passo 7

Discussão sobre o domínio da derivada e o ponto x=-1.
  • Para que todo o processo (usar h positivo e negativo pequenos) funcione, precisamos que x+1+h\ge0 para h suficientemente pequeno em torno de 0. Isso exige x>-1. Portanto a fórmula f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} vale para x>-1.
  • No ponto extremo x=-1 a função está definida, mas ao tentar calcular a derivada diretamente:
\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{-1+1+h}-\sqrt{0}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{h}}{h}.
Para h>0 isso é \dfrac{1}{\sqrt{h}} que tende a +\infty quando h\to0^+. Para h<0 a expressão nem está definida (porque \sqrt{h} não é real). Portanto não existe derivada finita em x=-1 (há uma tangente vertical / derivada indefinida no ponto extremo).

Passo 8

Resumo final e incentivo.
  • Concluímos que a derivada da função dada, calculada pela definição (limite da taxa de variação média) é
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}
para x>-1. No ponto x=-1 a derivada não existe (não é finita).
  • Bom trabalho até aqui — você dominou o truque da racionalização, que é o passo chave para derivar raízes pela definição. Respira fundo e parte pra próxima!

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}},\quad x>-1
f'(-1)=\text{não existe}ã

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