Questão 5. Considere a função
, dada por
. Abaixo temos a série de Taylor da função
em torno de
.
a qual converge para
se
.
a) Diante das informações dadas, encontre uma expressão para
.
b) Encontre a série de Taylor da função
, com
e
.
a) Diante das informações dadas, encontre uma expressão para
b) Encontre a série de Taylor da função
Passo 1
O enunciado dá a expansão em série de Taylor de
em torno de
, isto é
válida para
. Pede-se em (a) uma expressão para
e em (b) a série de Taylor de
em torno de
para
.
Passo 2
Para achar
, note que
. Como a série
converge para
em
, basta substituir
em
.
Passo 3
Substituindo
em
obtém-se
Passo 4
Para desenvolver
em torno de
com
, usamos a série geométrica
válida para
. Aqui basta tomar
.
Passo 5
Com
temos
válido para
.
Resposta
(a)
(b)
(b)