Questão 5. Considere a função f:]-1, infty[ R, dada por f(x)=ln (1+x). Abaixo temos a série de Taylor da função f em torno de x0=0.
S=x-x^22+x^33-x^44+x^55-x^66+cdots
a qual converge para f se x in]-1,1].
a) Diante das informações dadas, encontre uma expressão para ln (2).
b) Encontre a série de Taylor da função g(x)=11+x, com x0=0 e |x|<1.

Passo 1

O enunciado dá a expansão em série de Taylor de
f(x)=ln(1+x)
em torno de x0=0, isto é
S = x - x^22 + x^33 - x^44 + x^55 - x^66 + cdots,
válida para xin]-1,1]. Pede-se em (a) uma expressão para ln2 e em (b) a série de Taylor de
g(x)=11+x
em torno de 0 para |x|<1.

Passo 2

Para achar ln2, note que ln2=ln(1+1). Como a série S converge para ln(1+x) em x=1, basta substituir x=1 em S.

Passo 3

Substituindo x=1 em
S = 1 - 12 + 13 - 14 + 15 - cdots
obtém-se
ln2 = 1 - 12 + 13 - 14 + 15 - cdots = sumk=1^infty(-1)^,k+11k

Passo 4

Para desenvolver g(x)=1/(1+x) em torno de 0 com |x|<1, usamos a série geométrica
11+r = sumn=0^inftyr^n,
válida para |r|<1. Aqui basta tomar r=-x.

Passo 5

Com r=-x temos
11+x = sumn=0^infty(-x)^n = sumn=0^infty(-1)^nx^n,
válido para |x|<1.

Resposta

(a) ln2 = 1 - tfrac12 + tfrac13 - tfrac14 + tfrac15 - cdots = sumk=1^infty(-1)^k+11k
(b) 11+x = sumn=0^infty(-1)^nx^n, |x|<1

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