Questão 1. Para x >= 0, considere a função f(x)=e^ln (x^3+2 x+1). Encontre a reta tangente a f em x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^lnl(x^3+2x+1r), x>=0,
e pede a reta tangente em x=1. Vamos usar a propriedade e^ln(u)=u (para u>0), calcular a derivada f'(x) e aplicar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Como para x>=0 vale x^3+2x+1>0, podemos simplificar
f(x)=e^lnl(x^3+2x+1r)=x^3+2x+1

Passo 3

Derivamos a expressão polinomial usando a regra da potência e soma:
f'(x)=ddxl(x^3r)+ddx(2x)+ddx(1)=3x^2+2

Passo 4

Avaliamo­-os em x=1:
f(1)=1^3+2cdot1+1=4,
f'(1)=3cdot1^2+2=5

Passo 5

Usamos a fórmula da reta tangente em (x0,y0)=(1,4) com coeficiente angular m=5:
y - y0=m,(x-x0) Longrightarrow y-4=5(x-1) Longrightarrow y=5x-1

Resposta

A reta tangente a f em x=1 é
y=5x-1

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