Questão 4. Considere a função
l f: R R, x mapsto f(x), onde f(x)=1+xpi+x^2pi^2+x^3pi^3+x^4pi^4+x^5pi^5
Se denotarmos por
Sf: R R, x mapsto Sf(x)
a série de Fourier 2 pi-periódica que converge para f(x) num intervalo aberto em torno da origem, temos que:
Sf(-pi)=6

Passo 1

O enunciado pede pra gente considerar a função polinomial de grau 5
f(x)=1+xpi+x^2pi^2+x^3pi^3+x^4pi^4+x^5pi^5 definida em R, e depois construir a série de Fourier de período 2pi que coincide com f(x) num intervalo aberto em torno de zero. O objetivo é determinar o valor dessa série em x=-pi. Vamos usar teoria de séries de Fourier (extensão periódica e teorema de Dirichlet para pontos de descontinuidade).

Passo 2

Vamos calcular primeiro o valor de f(x) exatamente em x=-pi. Basta substituir:
f(-pi)=1+-pipi+(-pi)^2pi^2+(-pi)^3pi^3+(-pi)^4pi^4+(-pi)^5pi^5
Como cada potência de -pi alterna sinal, temos:
f(-pi)=1-1+1-1+1-1=0

Passo 3

Agora calculamos f(pi), que vai ser o valor da função no extremo oposto do período:
f(pi)=1+pipi+pi^2pi^2+pi^3pi^3+pi^4pi^4+pi^5pi^5
Todas as parcelas são positivas iguais a 1, logo
f(pi)=1+1+1+1+1+1=6

Passo 4

Como a extensão periódica de f de período 2pi coloca o ponto x=-pi imediatamente após o ponto x=pi, notamos um salto: o limite pela direita em -pi é f(-pi)=0, e o limite pela esquerda em -pi (que é o mesmo que em pi^-) é f(pi)=6. Pelo teorema de Dirichlet, a série de Fourier converge nesse ponto de descontinuidade para a média aritmética desses dois limites.

Passo 5

Calculamos então essa média:
Sf(-pi)=f(-pi^+)+f(-pi^-)2=0+62=3
Ou seja, o valor da série de Fourier em x=-pi é 3.

Resposta

3

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