Questão 4. Considere a função
Se denotarmos por
a série de Fourier
-periódica que converge para
num intervalo aberto em torno da origem, temos que:
Passo 1
O enunciado pede pra gente considerar a função polinomial de grau 5
definida em
, e depois construir a série de Fourier de período
que coincide com
num intervalo aberto em torno de zero. O objetivo é determinar o valor dessa série em
. Vamos usar teoria de séries de Fourier (extensão periódica e teorema de Dirichlet para pontos de descontinuidade).
Passo 2
Vamos calcular primeiro o valor de
exatamente em
. Basta substituir:
Como cada potência de
alterna sinal, temos:
Passo 3
Agora calculamos
, que vai ser o valor da função no extremo oposto do período:
Todas as parcelas são positivas iguais a 1, logo
Passo 4
Como a extensão periódica de
de período
coloca o ponto
imediatamente após o ponto
, notamos um salto: o limite pela direita em
é
, e o limite pela esquerda em
(que é o mesmo que em
) é
. Pelo teorema de Dirichlet, a série de Fourier converge nesse ponto de descontinuidade para a média aritmética desses dois limites.
Passo 5
Calculamos então essa média:
Ou seja, o valor da série de Fourier em
é 3.
Resposta
3