Exercício 3: Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por
e depois inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui é mudança de ordem em integrais duplas: vamos esboçar a região no plano
e, a partir disso, determinar para cada
os limites em
.
Passo 2
A região
está definida por
No plano, as fronteiras são as retas
,
,
e
. Se você desenhar, vai ver uma ‘fatia’ saindo da origem, limitada entre essas duas retas, e truncada verticalmente em
.
Passo 3
Para inverter a ordem, primeiro achamos o intervalo total de
. Como
vai de 0 (em
) até 1 (em
), e
vai de 0 a 3, o valor de
na região vai de 0 até 3.
Agora, para cada fixo, precisamos achar os valores de
tais que
Agora, para cada
e ainda respeitando
.
Passo 4
Isso gera dois subcasos em
:
- Se
, então torna mais restrito que , logo
- Se
, agora é mais restrito que , ficando
Passo 5
Portanto, invertendo a ordem, a integral original
vira a soma de duas integrais em
:
Passo 6
final_answer