Exercício 3: Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em:
integral0^1 integralx^3 x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por 0<= x<=1,;x<= y<=3x e depois inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui é mudança de ordem em integrais duplas: vamos esboçar a região no plano xy e, a partir disso, determinar para cada y os limites em x.

Passo 2

A região R está definida por
0<= x<=1, x<= y<=3x
No plano, as fronteiras são as retas y=x, y=3x, x=0 e x=1. Se você desenhar, vai ver uma ‘fatia’ saindo da origem, limitada entre essas duas retas, e truncada verticalmente em x=1.

Passo 3

Para inverter a ordem, primeiro achamos o intervalo total de y. Como y=x vai de 0 (em x=0) até 1 (em x=1), e y=3x vai de 0 a 3, o valor de y na região vai de 0 até 3.
Agora, para cada y fixo, precisamos achar os valores de x tais que
x<= y<=3x Longrightarrow y3<= x<= y
e ainda respeitando 0<= x<=1.

Passo 4

Isso gera dois subcasos em y:
  • Se 0<= y<=1, então y<=1 torna x<= y mais restrito que x<=1, logo
y3<= x<= y
  • Se 1, agora x<=1 é mais restrito que x<= y, ficando
y3<= x<=1

Passo 5

Portanto, invertendo a ordem, a integral original
integral0^1integralx^3xf(x,y),dy,dx
vira a soma de duas integrais em y:

Passo 6

final_answer

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