Questão 4. Considere a função
Se denotarmos por
a série de Fourier
-periódica que converge para
num intervalo aberto em torno da origem, temos que:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x) $ definida para todos os números reais e uma série de Fourier periódica que se aproxima dessa função perto da origem. A questão quer que a gente descubra o valor dessa série de Fourier quando $ x = -\pi $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier e como elas se comportam em pontos específicos, especialmente em pontos onde a função pode ter descontinuidades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) $ que foi dada:
Essa é uma função polinomial de grau 5 dividida por potências de $ \pi $. Nosso objetivo é analisar o comportamento da série de Fourier $ S_f(x) $ dessa função no ponto $ x = -\pi $.
Passo 3
As séries de Fourier são usadas para representar funções periódicas como uma soma de funções trigonométricas (seno e cosseno). Quando estendemos $ f(x) $ para ser $ 2\pi $-periódica, estamos basicamente “repetindo” a função a cada intervalo de $ 2\pi $.
Agora, a série de Fourier $ S_f(x) $ converge para $ f(x) $ em um intervalo aberto ao redor da origem, mas o que acontece quando avaliamos $ S_f(x) $ em $ x = -\pi $?
Passo 4
Em pontos onde a função periódica apresenta descontinuidades (saltos), a série de Fourier não converge exatamente para $ f(x) $ no ponto da descontinuidade. Em vez disso, ela converge para a média dos limites à direita e à esquerda desse ponto.
Então, para $ x = -\pi $, precisamos calcular os limites de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ -\pi $ pela direita e pela esquerda.
Passo 5
Vamos calcular $ f(-\pi) $:
Simplificando cada termo:
Agora, vamos considerar o valor de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ -\pi $ pela direita e pela esquerda.
Passo 6
Como estamos lidando com uma função $ 2\pi $-periódica, ao nos aproximarmos de $ x = -\pi $ pela direita, estamos na “região” de $ x = \pi $ devido à periodicidade. Vamos calcular $ f(\pi) $:
Portanto, os limites são:
- $ \lim_{x \to -\pi^{-}} f(x) = 0 $
- $ \lim_{x \to -\pi^{+}} f(x) = 6 $
Passo 7
Como a série de Fourier $ S_f(x) $ no ponto da descontinuidade converge para a média desses dois limites, temos:
Resposta
Portanto, $ S_{f}(-\pi) = 3 $.