Questão 3. Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \[f(x)= \begin{cases}\alpha x^{2}+\alpha(x+1)+\beta, & \text { se } x<0 \\\\ 9, & \text { se } x=0 \\\ \beta(\alpha x+3), & \text { se } x>0\end{cases}
em que \alpha\] e \(\beta são constantes reais.
a) Determine \alpha e \beta para que a função seja contínua em x=0.
b) Mostre que a função f com os valores \alpha e \beta obtidos no item anterior não é diferenciável no ponto x=0.

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)= \begin{cases}\alpha x^{2}+\alpha(x+1)+\beta, & \text{se } x<0,\\[4pt] 9, & \text{se } x=0,\\[4pt] \beta(\alpha x+3), & \text{se } x>0,\end{cases}
com \alpha,\beta\in\mathbb{R}. As perguntas são:
  • (a) Determinar \alpha e \beta para que f seja contínua em x=0.
  • (b) Mostrar que, com esses valores de \alpha e \beta, f não é diferenciável em x=0.
Informações relevantes dadas:
  • Valor de f em 0 é f(0)=9.
  • Expressões para f(x) à esquerda de 0 (ramos para x<0) e à direita de 0 (ramos para x>0), envolvendo \alpha e \beta.]

Passo 2

Relembrando a definição prática de continuidade em x=0 (para usar na prova):
  • A função f é contínua em x=0 se, e somente se, os limites laterais existem e são iguais ao valor da função no ponto:
\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x).
Aqui f(0)=9. Vou calcular as duas limites laterais usando as fórmulas dos ramos.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to0^-}f(x). Para x<0 temos
f(x)=\alpha x^{2}+\alpha(x+1)+\beta=\alpha x^{2}+\alpha x+\alpha+\beta.
Ao fazer x\to0^- os termos com x e x^{2} vão para zero, logo
\lim_{x\to0^-}f(x)=\alpha+\beta.
Calcular \lim_{x\to0^+}f(x). Para x>0 temos
f(x)=\beta(\alpha x+3).
Ao fazer x\to0^+ o termo com x some e fica
\lim_{x\to0^+}f(x)=\beta\cdot 3=3\beta.

Passo 4

Impor continuidade colocando as duas limites iguais a f(0)=9. Assim obtemos o sistema
\alpha+\beta=9, \qquad 3\beta=9.
Resolver esse sistema para achar \alpha e \beta.

Passo 5

Resolver 3\beta=9. Dividindo ambos os lados por 3,
\beta=3.
Substituir em \alpha+\beta=9:
\alpha+3=9 \quad\Rightarrow\quad \alpha=6.
Portanto os valores que garantem continuidade em x=0 são \alpha=6 e \beta=3.

Passo 6

Agora a parte (b): diferenciar ou não em x=0.
Relembrando a definição de derivada no ponto 0:
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h},
se esse limite existir. Uma maneira prática para funções definidas por partes é verificar as derivadas unilaterais:
f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}, \qquad f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}.
A função é diferenciável em 0 se, e somente se, esses dois limites existem e são iguais. Vou calcular as duas derivadas unilaterais usando as expressões dos ramos e os valores \alpha=6, \beta=3.

Passo 7

Calcular a derivada lateral pela esquerda. Para x<0 a expressão geral (antes de substituir números) é
f(x)=\alpha x^{2}+\alpha x+\alpha+\beta,
cuja derivada para x<0 é (derivando termo a termo)
f'(x)=2\alpha x+\alpha.
A derivada lateral esquerda em 0 é o limite x\to0^- de f'(x). Como 2\alpha x\to0 quando x\to0, obtemos
f'_-(0)=\alpha.
Substituindo \alpha=6,
f'_-(0)=6.

Passo 8

Calcular a derivada lateral pela direita. Para x>0 com \beta e \alpha gerais temos
f(x)=\beta(\alpha x+3)=\alpha\beta x+3\beta,
que é uma função linear de x para x>0. A derivada dessa função para x>0 é a constante
f'(x)=\alpha\beta.
Logo a derivada lateral direita em 0 é
f'_+(0)=\alpha\beta.
Substituindo \alpha=6 e \beta=3,
f'_+(0)=6\cdot 3=18.

Passo 9

Comparar as derivadas unilaterais: f'_-(0)=6 e f'_+(0)=18. Como os dois valores são diferentes, o limite \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} não existe. Portanto f não é diferenciável em x=0.
Observação rápida e motivadora: é comum em provas ver continuidade garantida por ajustar constantes, mas a derivada falhar porque os coeficientes angulares dos ramos à esquerda e à direita diferem — aqui deu exatamente isso (6 vs 18). Respira: você fez o raciocínio clássico que cai em muitas questões.

Resposta

\alpha=6,\\ \beta=3
A função não é diferenciável em x=0.

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