Questão 3. Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por
\[f(x)= \begin{cases}\alpha x^{2}+\alpha(x+1)+\beta, & \text { se } x<0 \\\\ 9, & \text { se } x=0 \\\ \beta(\alpha x+3), & \text { se } x>0\end{cases}
em que \alpha\] e \(\beta são constantes reais.
a) Determine \alpha e \beta para que a função seja contínua em x=0.
b) Mostre que a função f com os valores \alpha e \beta obtidos no item anterior não é diferenciável no ponto x=0.
A função é diferenciável em 0 se, e somente se, esses dois limites existem e são iguais. Vou calcular as duas derivadas unilaterais usando as expressões dos ramos e os valores \alpha=6, \beta=3.
Passo 7
Calcular a derivada lateral pela esquerda. Para x<0 a expressão geral (antes de substituir números) é
f(x)=\alpha x^{2}+\alpha x+\alpha+\beta,
cuja derivada para x<0 é (derivando termo a termo)
f'(x)=2\alpha x+\alpha.
A derivada lateral esquerda em 0 é o limite x\to0^- de f'(x). Como 2\alpha x\to0 quando x\to0, obtemos
f'_-(0)=\alpha.
Substituindo \alpha=6,
f'_-(0)=6.
Passo 8
Calcular a derivada lateral pela direita. Para x>0 com \beta e \alpha gerais temos
f(x)=\beta(\alpha x+3)=\alpha\beta x+3\beta,
que é uma função linear de x para x>0. A derivada dessa função para x>0 é a constante
f'(x)=\alpha\beta.
Logo a derivada lateral direita em 0 é
f'_+(0)=\alpha\beta.
Substituindo \alpha=6 e \beta=3,
f'_+(0)=6\cdot 3=18.
Passo 9
Comparar as derivadas unilaterais: f'_-(0)=6 e f'_+(0)=18. Como os dois valores são diferentes, o limite \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} não existe. Portanto f não é diferenciável em x=0.
Observação rápida e motivadora: é comum em provas ver continuidade garantida por ajustar constantes, mas a derivada falhar porque os coeficientes angulares dos ramos à esquerda e à direita diferem — aqui deu exatamente isso (6 vs 18). Respira: você fez o raciocínio clássico que cai em muitas questões.