Questão 1. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique por quê.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{2}+2 x}{x^{2}}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a +\infty da expressão
\left(\frac{x^{2}+2x}{x^{2}}\right)^{x}.
Informações dadas (explicitadas):
  • A expressão é \left(\dfrac{x^{2}+2x}{x^{2}}\right)^{x}.
  • O ponto de interesse é x\to+\infty.
    A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é o seu valor? Se não, justificar por que não existe.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica antes de pensar em limites. Dividindo termo a termo por x^{2} dentro do parêntesis:
\frac{x^{2}+2x}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2x}{x^{2}} = 1 + \frac{2}{x}.
Portanto a expressão do limite fica
\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}.

Passo 3

Estratégia: esse tipo de limite costuma ser tratado tomando o logaritmo natural, porque potências com expoente que cresce podem ser transformadas em produtos mais fáceis de analisar. Defino
y=\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}.
Se conseguirmos \lim_{x\to+\infty}\ln y, então o limite original será \exp desse valor:
\lim_{x\to+\infty} y = \exp\!\left(\lim_{x\to+\infty}\ln y\right),
desde que o limite do logaritmo exista (ou seja, não seja \pm\infty sem controle). Agora calculemos \ln y.

Passo 4

Calcular \ln y:
\ln y = \ln\!\left(\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}\right) = x\cdot \ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right).
Então precisamos do limite
\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right).
Observe que quando x\to+\infty temos \dfrac{2}{x}\to 0, logo o produto tem a forma indeterminada +\infty\cdot 0. Para aplicar ferramentas como o Teorema de l’Hôpital, reescrevemos essa expressão numa forma \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}.

Passo 5

Reescrevendo como quociente conveniente:
x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right) = \frac{\ln\!\left(1+\dfrac{2}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}.
Quando x\to+\infty temos \ln(1+2/x)\to\ln(1)=0 e 1/x\to 0, então o quociente é da forma \dfrac{0}{0}. Podemos, portanto, aplicar o Teorema de l’Hôpital (desde que as funções sejam diferenciáveis próximas ao limite, o que é verdade aqui).

Passo 6

Aplicando l’Hôpital: derivar numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\left[\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right)\right] = \frac{1}{1+\dfrac{2}{x}}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{x}\right) = \frac{1}{1+\dfrac{2}{x}}\cdot\left(-\frac{2}{x^{2}}\right).
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^{2}}.
Agora o quociente das derivadas é
\frac{\displaystyle -\frac{2}{x^{2}}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{2}{x}}}{\displaystyle -\frac{1}{x^{2}}} = \frac{2}{1+\dfrac{2}{x}}.

Passo 7

Tomando o limite de x\to+\infty dessa expressão:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{1+\dfrac{2}{x}} = \frac{2}{1+0} = 2.
Logo encontramos
\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right) = 2.
Isto é, \lim_{x\to+\infty}\ln y = 2.

Passo 8

Voltando ao original: se \ln y \to 2, então
y = \left(1+\frac{2}{x}\right)^{x} \longrightarrow e^{2}
quando x\to+\infty. Portanto o limite existe e vale e^{2}.

Passo 9

Comentário didático curto (intuição): a família de limites
\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}
tende para e^{a} quando x\to\infty. A prova feita aqui é a versão contínua dessa propriedade, usando o logaritmo e l’Hôpital; uma outra maneira seria expandir \ln(1+u)\approx u para u pequeno e obter o mesmo resultado.

Resposta

e^{2}

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