Questão 1. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique por quê.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas (explicitadas):
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
.
A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é o seu valor? Se não, justificar por que não existe.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica antes de pensar em limites. Dividindo termo a termo por
dentro do parêntesis:
Portanto a expressão do limite fica
Passo 3
Estratégia: esse tipo de limite costuma ser tratado tomando o logaritmo natural, porque potências com expoente que cresce podem ser transformadas em produtos mais fáceis de analisar. Defino
Se conseguirmos
, então o limite original será
desse valor:
desde que o limite do logaritmo exista (ou seja, não seja
sem controle). Agora calculemos
.
Passo 4
Calcular
:
Então precisamos do limite
Observe que quando
temos
, logo o produto tem a forma indeterminada
. Para aplicar ferramentas como o Teorema de l’Hôpital, reescrevemos essa expressão numa forma
ou
.
Passo 5
Reescrevendo como quociente conveniente:
Quando
temos
e
, então o quociente é da forma
. Podemos, portanto, aplicar o Teorema de l’Hôpital (desde que as funções sejam diferenciáveis próximas ao limite, o que é verdade aqui).
Passo 6
Aplicando l’Hôpital: derivar numerador e denominador em relação a
.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora o quociente das derivadas é
Passo 7
Tomando o limite de
dessa expressão:
Logo encontramos
Isto é,
.
Passo 8
Voltando ao original: se
, então
quando
. Portanto o limite existe e vale
.
Passo 9
Comentário didático curto (intuição): a família de limites
tende para
quando
. A prova feita aqui é a versão contínua dessa propriedade, usando o logaritmo e l’Hôpital; uma outra maneira seria expandir
para
pequeno e obter o mesmo resultado.