Questão 4. Calcule a derivada da função, onde ela existir, nos casos a seguir.
f(x)=\frac{x^{2}+2}{\cos (2 x)}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função f e dizer onde essa derivada existe. A função dada é
f(x)=\frac{x^{2}+2}{\cos(2x)}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é x^{2}+2.
  • O denominador é \cos(2x).
  • A função só está definida quando \cos(2x)\neq 0. Esses pontos serão importantes para indicar onde a derivada pode existir.

Passo 2

Escolha do método: vou reescrever a função como um produto usando a identidade \operatorname{sec} t = 1/\cos t. Assim
f(x)=(x^{2}+2)\operatorname{sec}(2x).
Vantagem: usar a regra do produto + regra da cadeia fica mais direto e menos sujeito a erros algébricos do que aplicar a regra do quociente direto. A regra do quociente daria o mesmo resultado, mas aqui o produto com \operatorname{sec} deixa claro o uso da derivada de funções trigonométricas compostas.

Passo 3

Relembre as regras que vou usar (com explicação simples):
  • Derivada de uma soma e de um polinômio: se g(x)=x^{2}+2, então g'(x)=2x. É a regra básica: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u(x)=x^{2}+2 e v(x)=\operatorname{sec}(2x).
  • Regra da cadeia: se h(x)=H(G(x)), então h'(x)=H'(G(x))\cdot G'(x). Ou seja, derivada da função exterior avaliada na interior vezes derivada da interior.
  • Derivada da função \operatorname{sec} t: \dfrac{d}{dt}\operatorname{sec} t=\operatorname{sec} t\tan t. Aplicando cadeia com t=2x multiplicamos por 2.

Passo 4

Aplicando as regras passo a passo:
  1. Identifico u(x)=x^{2}+2 e v(x)=\operatorname{sec}(2x).
  2. Calculo u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+2)=2x.
  1. Calculo v'(x) usando regra da cadeia: primeiro \dfrac{d}{dt}\operatorname{sec} t=\operatorname{sec} t\tan t, com t=2x e t'=2. Então
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(2x)=\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)\cdot 2=2\operatorname{sec}(2x)\tan(2x).
  1. Agora aplico a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo:
f'(x)=2x\cdot\operatorname{sec}(2x)+(x^{2}+2)\cdot\big(2\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)\big).

Passo 5

Simplifico e fatoro para uma forma mais compacta:
f'(x)=2x\operatorname{sec}(2x)+2(x^{2}+2)\operatorname{sec}(2x)\tan(2x).
Coloco 2\operatorname{sec}(2x) em evidência:
f'(x)=2\operatorname{sec}(2x)\big[x+(x^{2}+2)\tan(2x)\big].
Opcionalmente, se preferir em termos de \sin e \cos:
f'(x)=2\frac{1}{\cos(2x)}\left[x+(x^{2}+2)\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\right] =2\frac{x\cos(2x)+(x^{2}+2)\sin(2x)}{\cos^{2}(2x)}.

Passo 6

Determinar onde a derivada existe:
  • A derivada foi obtida com \operatorname{sec}(2x) e \tan(2x), que só fazem sentido quando \cos(2x)\neq 0.
  • Portanto a derivada existe exatamente onde a função está definida, ou seja, para todos os x tais que \cos(2x)\neq 0.
  • Resolver \cos(2x)=0 2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Assim
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z},
são os pontos onde nem a função nem a derivada existem.

Resposta

f'(x)=2\operatorname{sec}(2x)\big[x+(x^{2}+2)\tan(2x)\big]
A derivada existe para x\neq \dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}.

Exercícios relacionados