Questão 4. Calcule a derivada da função, onde ela existir, nos casos a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
e dizer onde essa derivada existe. A função dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A função só está definida quando
. Esses pontos serão importantes para indicar onde a derivada pode existir.
Passo 2
Escolha do método: vou reescrever a função como um produto usando a identidade
. Assim
Vantagem: usar a regra do produto + regra da cadeia fica mais direto e menos sujeito a erros algébricos do que aplicar a regra do quociente direto. A regra do quociente daria o mesmo resultado, mas aqui o produto com
deixa claro o uso da derivada de funções trigonométricas compostas.
Passo 3
Relembre as regras que vou usar (com explicação simples):
- Derivada de uma soma e de um polinômio: se
, então . É a regra básica: . - Regra do produto: se
e são diferenciáveis, então
Aqui
e
.
- Regra da cadeia: se
, então . Ou seja, derivada da função exterior avaliada na interior vezes derivada da interior. - Derivada da função
: . Aplicando cadeia com multiplicamos por .
Passo 4
Aplicando as regras passo a passo:
- Identifico
e . - Calculo
:
- Calculo
usando regra da cadeia: primeiro , com e . Então
- Agora aplico a regra do produto:
Substituindo:
Passo 5
Simplifico e fatoro para uma forma mais compacta:
Coloco
em evidência:
Opcionalmente, se preferir em termos de
e
:
Passo 6
Determinar onde a derivada existe:
- A derivada foi obtida com
e , que só fazem sentido quando . - Portanto a derivada existe exatamente onde a função está definida, ou seja, para todos os
tais que . - Resolver
dá , com . Assim
são os pontos onde nem a função nem a derivada existem.
Resposta
A derivada existe para