Questão 8
Considere um gás constituído por
partículas idênticas de massa
, confinadas em uma caixa cúbica de aresta
e em contato com um reservatório térmico a temperatura
. Qualquer interação entre as partículas deve ser desprezada, mas o gás está submetido a um campo gravitacional constante
. Suponha que o espaço de fases é contínuo e que o campo gravitacional atua na direção
.
(a) Obtenha a função de partição canônica do sistema, considerando o espaço de fases contínuo.
(b) Determine a energia livre de Helmholtz.
(a) Obtenha a função de partição canônica do sistema, considerando o espaço de fases contínuo.
(b) Determine a energia livre de Helmholtz.
Passo 1
O enunciado trata de um gás ideal clássico de
partículas de massa
em uma caixa cúbica de aresta
, sob gravidade uniforme
na direção
, em equilíbrio canônico à temperatura
. Para resolver vamos usar a definição de função de partição no espaço de fases contínuo e o fato de que, por não haver interações, ela se fatoriza em produtos de integrais unipartícula.
Passo 2
A função de partição canônica do sistema de
partículas é
onde
e
é a constante de Planck. Por não haver interações, a integral se separa em produto de
cópias de uma integral unipartícula
:
Passo 3
Calculemos primeiro a parte de momento (gaussiana em
):
Passo 4
Agora a parte espacial. Como
sem potencial e
com
,
Passo 5
Juntando momento e posição em
:
Portanto a função de partição do gás é
Passo 6
A energia livre de Helmholtz é
Para
usamos
, obtendo
Substituindo
e simplificando, uma forma compacta é
Resposta
(a)
(b)