Questão 8

Considere um gás constituído por N partículas idênticas de massa m, confinadas em uma caixa cúbica de aresta a e em contato com um reservatório térmico a temperatura T. Qualquer interação entre as partículas deve ser desprezada, mas o gás está submetido a um campo gravitacional constante \vec{g}. Suponha que o espaço de fases é contínuo e que o campo gravitacional atua na direção z.
(a) Obtenha a função de partição canônica do sistema, considerando o espaço de fases contínuo.
(b) Determine a energia livre de Helmholtz.

Passo 1

O enunciado trata de um gás ideal clássico de N partículas de massa m em uma caixa cúbica de aresta a, sob gravidade uniforme \vec g na direção z, em equilíbrio canônico à temperatura T. Para resolver vamos usar a definição de função de partição no espaço de fases contínuo e o fato de que, por não haver interações, ela se fatoriza em produtos de integrais unipartícula.

Passo 2

A função de partição canônica do sistema de N partículas é
Z_{N} \;=\;\frac{1}{N!\,h^{3N}} \int \prod_{i=1}^{N}d^{3}p_{i}\,d^{3}r_{i} \;\exp\Bigl[-\beta\sum_{i=1}^{N}\bigl(\tfrac{p_{i}^{2}}{2m}+mg\,z_{i}\bigr)\Bigr],
onde \beta=1/(k_{B}T) e h é a constante de Planck. Por não haver interações, a integral se separa em produto de N cópias de uma integral unipartícula Z_{1}:
Z_{N}=\frac{(Z_{1})^{N}}{N!}, \quad Z_{1} =\frac{1}{h^{3}} \int d^{3}p\,e^{-\beta p^{2}/2m} \int d^{3}r\,e^{-\beta m g z}.

Passo 3

Calculemos primeiro a parte de momento (gaussiana em \mathbb{R}^{3}):
\int_{\mathbb{R}^{3}}d^{3}p\;e^{-\beta\frac{p^{2}}{2m}} =\biggl(\!\int_{-\infty}^{\infty}dp\;e^{-\beta p^{2}/2m}\biggr)^{3} =\bigl(2\pi m/\beta\bigr)^{3/2}.

Passo 4

Agora a parte espacial. Como x,y\in[0,a] sem potencial e z\in[0,a] com U(z)=mgz,
\int d^{3}r\;e^{-\beta m g z} =\int_{0}^{a}dx\int_{0}^{a}dy\int_{0}^{a}dz\;e^{-\beta mgz} =a^{2}\,\frac{1-e^{-\beta mg a}}{\beta mg}.

Passo 5

Juntando momento e posição em Z_{1}:
Z_{1} =\frac{1}{h^{3}} \,(2\pi m/\beta)^{3/2} \,a^{2}\,\frac{1-e^{-\beta mg a}}{\beta mg}.
Portanto a função de partição do gás é
\boxed{% Z_{N} =\frac{1}{N!}\Biggl[ \frac{(2\pi m k_{B}T)^{3/2}}{h^{3}} \,a^{2}\,\frac{1-e^{-mg a/(k_{B}T)}}{mg} \Biggr]^{\!N}. }

Passo 6

A energia livre de Helmholtz é
F=-k_{B}T\ln Z_{N} =-k_{B}T\Bigl[N\ln Z_{1}-\ln N!\Bigr].
Para N\gg1 usamos \ln N!\approx N\ln N - N, obtendo
F =-Nk_{B}T\ln Z_{1} +Nk_{B}T\ln N -Nk_{B}T.
Substituindo \ln Z_{1} e simplificando, uma forma compacta é
\boxed{% F =Nk_{B}T\Biggl[ \ln\frac{N\,h^{3}}{(2\pi m k_{B}T)^{3/2}\, a^{2}\,\bigl(1-e^{-mg a/(k_{B}T)}\bigr)/(\,mg\,)} -1 \Biggr]. }

Resposta

(a)
Z_{N} =\frac{1}{N!}\Biggl[ \frac{(2\pi m k_{B}T)^{3/2}}{h^{3}} \,a^{2}\,\frac{1-e^{-mg a/(k_{B}T)}}{mg} \Biggr]^{\!N}.
(b)
F =-k_{B}T\ln Z_{N} =Nk_{B}T\Biggl[ \ln\frac{N\,h^{3}}{(2\pi m k_{B}T)^{3/2}\, a^{2}\,\bigl(1-e^{-mg a/(k_{B}T)}\bigr)/(\,mg\,)} -1 \Biggr].

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