Questão 5

Um sistema em equilíbrio com um reservatório a temperatura T consiste em N subsistemas distinguíveis, de energia de interação desprezível, cada um dos quais com apenas dois níveis de energia não degenerados \varepsilon e -\varepsilon.
(a) Demonstre que a função de partição canônica obedece a relação,
Z=\left(Z_{1}\right)^{N}
onde Z_{1} é a função de partição de um subsistema.
(b) Determine a energia interna do sistema.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema à temperatura T composto por N subsistemas distinguíveis, sem interação entre si, cada um tendo apenas dois níveis não degenerados de energia: \varepsilon e -\varepsilon. Vamos usar o formalismo canônico, em particular a definição de partição
Z = \sum_{\text{estados}} e^{-\beta E},
com \beta = 1/(kT), para (a) mostrar que Z=(Z_{1})^{N} e (b) calcular a energia interna
U = \langle E\rangle = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}.

Passo 2

Como os subsistemas são independentes, a energia total é soma das energias individuais e a exponencial se fatoriza, dando
Z = \prod_{i=1}^{N} Z_{1} = (Z_{1})^{N},
onde
Z_{1} = \sum_{E=\pm\varepsilon} e^{-\beta E} = e^{-\beta\varepsilon} + e^{\beta\varepsilon} = 2\operatorname{cosh}(\beta\varepsilon).

Passo 3

Para obter a energia interna do sistema usamos
U = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} = -\frac{\partial}{\partial \beta}\bigl(N\ln Z_{1}\bigr) = -N\,\frac{\partial \ln Z_{1}}{\partial \beta}.

Passo 4

Calculando a derivada de \ln Z_{1}:
\frac{\partial \ln Z_{1}}{\partial \beta} =\frac{1}{Z_{1}}\frac{\partial Z_{1}}{\partial \beta} =\frac{1}{2\operatorname{cosh}(\beta\varepsilon)}\bigl(-\varepsilon e^{-\beta\varepsilon}+\varepsilon e^{\beta\varepsilon}\bigr) =\varepsilon\,\frac{e^{\beta\varepsilon}-e^{-\beta\varepsilon}}{2\operatorname{cosh}(\beta\varepsilon)} =\varepsilon\,\operatorname{tanh}(\beta\varepsilon).
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U = -N\,\varepsilon\,\operatorname{tanh}(\beta\varepsilon).

Resposta

Z = \bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\varepsilon)\bigr)^{N}, \qquad U = -\,N\,\varepsilon\,\operatorname{tanh}\bigl(\beta\varepsilon\bigr).

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