Questão 7. Considere a integral
onde
liga
a
.
(a) Compare dois caminhos distintos.
(b) Explique por que o valor pode variar.
(c) Relacione com um modelo físico.
(a) Compare dois caminhos distintos.
(b) Explique por que o valor pode variar.
(c) Relacione com um modelo físico.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Está dada a integral de linha
onde
é uma curva (qualquer curva) que liga o ponto
ao ponto
.
- Perguntas:
(a) comparar dois caminhos distintos (ou seja: calcular a integral em dois caminhos diferentes e comparar os resultados);
(b) explicar por que o valor pode variar quando se muda o caminho;
(c) relacionar essa integral com um modelo físico.
Informações relevantes do enunciado:
- Os pontos inicial e final são
e . - O integrando é a função escalar
. - A integração é feita em relação ao elemento de comprimento de arco
, que depende da forma do caminho .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas).
- Se
é uma parametrização de para , então a velocidade é . - O elemento de comprimento de arco vem da definição de comprimento de curva:
. Em termos da parametrização isso vira
- Logo, a integral de linha de uma função escalar
sobre é
Explicando cada símbolo:
-
são as coordenadas do ponto sobre quando o parâmetro vale . -
e são as derivadas em relação a . - O produto
é a função a integrar em .
Agora vamos aplicar essa fórmula em dois caminhos diferentes que ligam
a
.
Passo 3
Caminho 1: reta direta de
a
.
- Parametrização simples: tomar
e
- As derivadas são
e . Então
- O integrando composto é
- Aplicando a fórmula da integral:
- Calcule a integral em
:
- Portanto
Passo 4
Caminho 2: caminho em “L” (primeiro ao longo do eixo
de
a
, depois ao longo do eixo
de
a
). Vamos calcular a integral segmento a segmento.
Segmento 2.1: reta de
a
.
- Parametrização: para
,
- Derivadas:
. Logo . - Integrando:
Segmento 2.2: reta de
a
(vertical).
- Parametrização: para
,
- Derivadas:
. Logo . - Integrando:
- Calcule:
Some os dois segmentos:
Passo 5
Comparação numérica e observações imediatas.
- Para a reta direta obtivemos
- Para o caminho em “L” obtivemos
- Os dois valores são diferentes. Logo a integral
depende do caminho escolhido entre os mesmos pontos finais.
Passo 6
Por que o valor pode variar? Explicação didática, passo a passo.
- A integral é do tipo
. O elemento mede comprimento de arco; ele pesa quanto “comprimento” do caminho passa por cada ponto. - Ao parametrizar, a integral vira
Note que tanto
quanto a velocidade
dependem da parametrização/curva. Mudar a curva muda a função a ser integrada em
, portanto o valor da integral muda.
- Intuitivamente: diferentes curvas passam por pontos com valores diferentes de
e têm comprimentos diferentes. O integral soma (peso por comprimento) a função ao longo do caminho; se um caminho atravessa regiões onde é maior ou é mais longo, a integral aumenta. - Observação técnica: ao contrário das integrais de linha do tipo
que podem ser independentes do caminho quando é conservative (tem potencial), a integral escalar com não tem esse critério de conservação — ela mede uma “quantidade por unidade de comprimento” distribuída ao longo do caminho e, em geral, é path-dependent.
Passo 7
Modelo físico (explicação prática e concreta).
- Interpretação simples e comum: pense em uma haste/mola/fio curvo
no plano cuja densidade linear (massa por unidade de comprimento) depende da posição e é dada por
- A massa total do fio é exatamente
- Fazendo dois caminhos diferentes entre
e pode-se obter massas diferentes porque: - caminhos mais longos acumulam mais massa (maior
total); - caminhos que passam por regiões onde
é maior também aumentam a massa.
- caminhos mais longos acumulam mais massa (maior
- Outro modelo físico é custo/energia por unidade de comprimento: se
é o custo por metro para construir uma estrada que passa pelo ponto , então a integral dá o custo total da estrada; caminhos diferentes atravessam regiões com custo diferente e têm comprimentos diferentes, portanto custo total diferente.
Resposta
(a) Para a reta direta:
. Para o caminho em “L” (eixo
então vertical):
.
(b) O valor pode variar porque a integral é
; tanto o fator
quanto o elemento de comprimento
dependem do caminho. Mudando
muda a função a ser integrada em termos do parâmetro, logo o resultado geralmente muda.
(c) Modelo físico: se
é a densidade linear de um fio com geometria
, então
é a massa total do fio; caminhos diferentes dão massas diferentes por passarem por regiões com densidade e comprimentos distintos.