Questão 7. Considere a integral
\int_{C}\left(x^{2}+y\right) d s
onde C liga (0,0) a (1,1).
(a) Compare dois caminhos distintos.
(b) Explique por que o valor pode variar.
(c) Relacione com um modelo físico.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Está dada a integral de linha
\int_{C}\left(x^{2}+y\right)\,d s,
onde C é uma curva (qualquer curva) que liga o ponto (0,0) ao ponto (1,1).
  • Perguntas:
    (a) comparar dois caminhos distintos (ou seja: calcular a integral em dois caminhos diferentes e comparar os resultados);
    (b) explicar por que o valor pode variar quando se muda o caminho;
    (c) relacionar essa integral com um modelo físico.
Informações relevantes do enunciado:
  • Os pontos inicial e final são (0,0) e (1,1).
  • O integrando é a função escalar f(x,y)=x^{2}+y.
  • A integração é feita em relação ao elemento de comprimento de arco d s, que depende da forma do caminho C.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas).
  • Se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) é uma parametrização de C para t\in[a,b], então a velocidade é \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)).
  • O elemento de comprimento de arco vem da definição de comprimento de curva: d s=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}. Em termos da parametrização isso vira
d s=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt.
  • Logo, a integral de linha de uma função escalar f(x,y) sobre C é
\int_{C} f(x,y)\,d s=\int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt.
Explicando cada símbolo:
  • x(t),y(t) são as coordenadas do ponto sobre C quando o parâmetro vale t.
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas em relação a t.
  • O produto f(x(t),y(t))\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é a função a integrar em t.
Agora vamos aplicar essa fórmula em dois caminhos diferentes que ligam (0,0) a (1,1).

Passo 3

Caminho 1: reta direta de (0,0) a (1,1).
  • Parametrização simples: tomar t\in[0,1] e
x(t)=t,\qquad y(t)=t.
  • As derivadas são x'(t)=1 e y'(t)=1. Então
d s=\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}\,dt=\sqrt{2}\,dt.
  • O integrando composto é
f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=x(t)^{2}+y(t)=t^{2}+t.
  • Aplicando a fórmula da integral:
\int_{C_{\text{reta}}}(x^{2}+y)\,d s =\int_{0}^{1} \bigl(t^{2}+t\bigr)\,\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\int_{0}^{1} \bigl(t^{2}+t\bigr)\,dt.
  • Calcule a integral em t:
\int_{0}^{1}\bigl(t^{2}+t\bigr)\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}.
  • Portanto
\int_{C_{\text{reta}}}(x^{2}+y)\,d s=\sqrt{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5\sqrt{2}}{6}\approx 1{,}1785.

Passo 4

Caminho 2: caminho em “L” (primeiro ao longo do eixo x de (0,0) a (1,0), depois ao longo do eixo x=1 de (1,0) a (1,1)). Vamos calcular a integral segmento a segmento.
Segmento 2.1: reta de (0,0) a (1,0).
  • Parametrização: para t\in[0,1],
x(t)=t,\qquad y(t)=0.
  • Derivadas: x'(t)=1,\;y'(t)=0. Logo d s=\sqrt{1^{2}+0^{2}}\,dt=dt.
  • Integrando:
\int_{C_{1}}(x^{2}+y)\,d s=\int_{0}^{1}\bigl(t^{2}+0\bigr)\,dt=\int_{0}^{1} t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Segmento 2.2: reta de (1,0) a (1,1) (vertical).
  • Parametrização: para s\in[0,1],
x(s)=1,\qquad y(s)=s.
  • Derivadas: x'(s)=0,\;y'(s)=1. Logo d s=\sqrt{0^{2}+1^{2}}\,ds=ds.
  • Integrando:
\int_{C_{2}}(x^{2}+y)\,d s=\int_{0}^{1}\bigl(1^{2}+s\bigr)\,ds=\int_{0}^{1}(1+s)\,ds.
  • Calcule:
\int_{0}^{1}(1+s)\,ds=\left[s+\frac{s^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Some os dois segmentos:
\int_{C_{\text{L}}}(x^{2}+y)\,d s=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}=\frac{2}{6}+\frac{9}{6}=\frac{11}{6}\approx 1{,}8333.

Passo 5

Comparação numérica e observações imediatas.
  • Para a reta direta obtivemos
\int_{C_{\text{reta}}}(x^{2}+y)\,d s=\frac{5\sqrt{2}}{6}\approx 1{,}1785.
  • Para o caminho em “L” obtivemos
\int_{C_{\text{L}}}(x^{2}+y)\,d s=\frac{11}{6}\approx 1{,}8333.
  • Os dois valores são diferentes. Logo a integral \int_{C}(x^{2}+y)\,d s depende do caminho escolhido entre os mesmos pontos finais.

Passo 6

Por que o valor pode variar? Explicação didática, passo a passo.
  • A integral é do tipo \int_{C} f(x,y)\,d s. O elemento d s mede comprimento de arco; ele pesa quanto “comprimento” do caminho passa por cada ponto.
  • Ao parametrizar, a integral vira
\int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt.
Note que tanto f\bigl(x(t),y(t)\bigr) quanto a velocidade \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} dependem da parametrização/curva. Mudar a curva muda a função a ser integrada em t, portanto o valor da integral muda.
  • Intuitivamente: diferentes curvas passam por pontos com valores diferentes de f e têm comprimentos diferentes. O integral soma (peso por comprimento) a função f ao longo do caminho; se um caminho atravessa regiões onde f é maior ou é mais longo, a integral aumenta.
  • Observação técnica: ao contrário das integrais de linha do tipo \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} que podem ser independentes do caminho quando \mathbf{F} é conservative (tem potencial), a integral escalar com d s não tem esse critério de conservação — ela mede uma “quantidade por unidade de comprimento” distribuída ao longo do caminho e, em geral, é path-dependent.

Passo 7

Modelo físico (explicação prática e concreta).
  • Interpretação simples e comum: pense em uma haste/mola/fio curvo C no plano cuja densidade linear (massa por unidade de comprimento) depende da posição e é dada por
\lambda(x,y)=x^{2}+y.
  • A massa total do fio é exatamente
M=\int_{C}\lambda(x,y)\,d s=\int_{C}(x^{2}+y)\,d s.
  • Fazendo dois caminhos diferentes entre (0,0) e (1,1) pode-se obter massas diferentes porque:
    • caminhos mais longos acumulam mais massa (maior d s total);
    • caminhos que passam por regiões onde \lambda é maior também aumentam a massa.
  • Outro modelo físico é custo/energia por unidade de comprimento: se x^{2}+y é o custo por metro para construir uma estrada que passa pelo ponto (x,y), então a integral dá o custo total da estrada; caminhos diferentes atravessam regiões com custo diferente e têm comprimentos diferentes, portanto custo total diferente.

Resposta

(a) Para a reta direta: \dfrac{5\sqrt{2}}{6}. Para o caminho em “L” (eixo x então vertical): \dfrac{11}{6}.
(b) O valor pode variar porque a integral é \displaystyle\int_{C}f(x,y)\,d s; tanto o fator f(x,y) quanto o elemento de comprimento d s dependem do caminho. Mudando C muda a função a ser integrada em termos do parâmetro, logo o resultado geralmente muda.
(c) Modelo físico: se \lambda(x,y)=x^{2}+y é a densidade linear de um fio com geometria C, então \displaystyle\int_{C}(x^{2}+y)\,d s é a massa total do fio; caminhos diferentes dão massas diferentes por passarem por regiões com densidade e comprimentos distintos.

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