Questão 6. Um estudante utilizou coordenadas cilíndricas para calcular
\iiint_{E} e^{x^{2}+y^{2}} d V
onde E=\left\{x^{2}+y^{2} \leq 1,0 \leq z \leq 1\right\}. Explique por que essa escolha simplifica a integral.

Passo 1

O enunciado fornece a integral tripla
\iiint_{E} e^{x^{2}+y^{2}}\,dV
onde a região E é
E=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\; 0\le z\le 1\}.
A pergunta é: explicar por que a escolha de coordenadas cilíndricas simplifica o cálculo dessa integral (e, implicitamente, mostrar o cálculo usando essa escolha).

Passo 2

O que são coordenadas cilíndricas e como elas se relacionam com (x,y,z).
  • Em coordenadas cilíndricas usa-se as variáveis (r,\theta,z), com r\ge 0, \theta ângulo polar e z igual ao z cartesiano.
  • A transformação é dada por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Explanação didática: aqui r é a distância do ponto ao eixo z no plano xy, e \theta é o ângulo que o raio faz com o eixo x. Essa mudança é natural para regiões circulares porque substitui as coordenadas x,y por uma distância radial e um ângulo.

Passo 3

O elemento de volume (Jacobian) em coordenadas cilíndricas.
  • Ao fazer a mudança de variáveis a medida de volume dV transforma-se em
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação didática do porquê do fator r: o fator r aparece porque um pequeno retângulo em (r,\theta) de lados dr e d\theta tem área aproximada r\,dr\,d\theta (o lado angular corresponde ao arco de comprimento r\,d\theta). Formalmente, é o valor absoluto do determinante da matriz jacobiana da transformação.

Passo 4

Expressar a região E em coordenadas cilíndricas e justificar os limites.
  • A condição x^{2}+y^{2}\le 1 fica simplesmente r^{2}\le 1, ou seja 0\le r\le 1.
  • O ângulo \theta percorre toda a circunferência: 0\le \theta\le 2\pi.
  • O z já está explicitado: 0\le z\le 1.
    Portanto, em cilíndricas a região E tem limites simples e retangulares no espaço (r,\theta,z):
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le z\le 1.

Passo 5

Substituir o integrando e montar a integral em cilíndricas.
  • Observação importante: x^{2}+y^{2}=r^{2}. Portanto o integrando e^{x^{2}+y^{2}} torna-se e^{r^{2}}.
  • Juntando com o elemento de volume r\,dr\,d\theta\,dz, a integral vira
\iiint_{E} e^{x^{2}+y^{2}}\,dV = \int_{z=0}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} e^{r^{2}}\, r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação didática: isto já é uma grande simplificação porque o integrando deixou de depender de \theta e de z; depende apenas de r. Assim as integrais em \theta e z são imediatas.

Passo 6

Calcular a integral interna em r usando substituição.
  • Vamos calcular
\int_{r=0}^{1} e^{r^{2}}\, r\,dr.
  • Fazer a substituição u=r^{2}. Então du=2r\,dr, ou r\,dr=\dfrac{1}{2}\,du.
  • Os limites: quando r=0 tem u=0; quando r=1 tem u=1.
  • Assim
\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\, r\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr).
Explicação didática: a substituição u=r^{2} é uma técnica padrão quando aparece e^{r^{2}} multiplicado por r; ela “cancela” o fator r no diferencial, deixando uma integral de exponencial simples.

Passo 7

Calcular as integrais em \theta e z e combinar resultados.
  • A integral em \theta é
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • A integral em z é
\int_{0}^{1} dz = 1.
  • Multiplicando todos os fatores obtemos
\iiint_{E} e^{x^{2}+y^{2}}\,dV = \left(\int_{0}^{1} dz\right)\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\, r\,dr\right) = 1\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr) = \pi\bigl(e-1\bigr).

Passo 8

Por que coordenadas cilíndricas simplificam — resumo didático e comparação com cartesianas.
  • A região E é um cilindro reto com base circular. Coordenadas cilíndricas usam exatamente a distância radial r e o ângulo \theta, adaptando-se geometricamente à forma do domínio; por isso os limites ficam simples ( r de 0 a 1, \theta de 0 a 2\pi, z de 0 a 1).
  • O integrando e^{x^{2}+y^{2}} depende só de x^{2}+y^{2}, ou seja só da distância ao eixo z. Em cilíndricas isso vira e^{r^{2}}, uma função de r só — isso separa as variáveis e torna as integrais em \theta e z triviais.
  • Em coordenadas cartesianas a integral seria
\iint_{x^{2}+y^{2}\le 1}\!\left(\int_{0}^{1} e^{x^{2}+y^{2}}\,dz\right)\,dx\,dy
e o cálculo da parte em x,y exigiria integrar e^{x^{2}+y^{2}} sobre o disco unitário — em cartesianas os limites para y em função de x são -\sqrt{1-x^{2}} a \sqrt{1-x^{2}}, o que complica a integral. Em polar/cilíndricas a presença do fator r e a dependência radial do integrando tornam a integral direta.
  • Conclusão intuitiva: escolher coordenadas que respeitem a simetria da região e do integrando transforma um problema com limites e integrando complicados em um produto de integrais simples.

Resposta

\pi(e-1)

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