Questão 6. Um estudante utilizou coordenadas cilíndricas para calcular
onde
. Explique por que essa escolha simplifica a integral.
Passo 1
O enunciado fornece a integral tripla
onde a região
é
A pergunta é: explicar por que a escolha de coordenadas cilíndricas simplifica o cálculo dessa integral (e, implicitamente, mostrar o cálculo usando essa escolha).
Passo 2
O que são coordenadas cilíndricas e como elas se relacionam com
.
- Em coordenadas cilíndricas usa-se as variáveis
, com , ângulo polar e igual ao cartesiano. - A transformação é dada por
Explanação didática: aqui
é a distância do ponto ao eixo
no plano
, e
é o ângulo que o raio faz com o eixo
. Essa mudança é natural para regiões circulares porque substitui as coordenadas
por uma distância radial e um ângulo.
Passo 3
O elemento de volume (Jacobian) em coordenadas cilíndricas.
- Ao fazer a mudança de variáveis a medida de volume
transforma-se em
Explicação didática do porquê do fator
: o fator
aparece porque um pequeno retângulo em
de lados
e
tem área aproximada
(o lado angular corresponde ao arco de comprimento
). Formalmente, é o valor absoluto do determinante da matriz jacobiana da transformação.
Passo 4
Expressar a região
em coordenadas cilíndricas e justificar os limites.
- A condição
fica simplesmente , ou seja . - O ângulo
percorre toda a circunferência: . - O
já está explicitado: .
Portanto, em cilíndricas a regiãotem limites simples e retangulares no espaço :
Passo 5
Substituir o integrando e montar a integral em cilíndricas.
- Observação importante:
. Portanto o integrando torna-se . - Juntando com o elemento de volume
, a integral vira
Explicação didática: isto já é uma grande simplificação porque o integrando deixou de depender de
e de
; depende apenas de
. Assim as integrais em
e
são imediatas.
Passo 6
Calcular a integral interna em
usando substituição.
- Vamos calcular
- Fazer a substituição
. Então , ou . - Os limites: quando
tem ; quando tem . - Assim
Explicação didática: a substituição
é uma técnica padrão quando aparece
multiplicado por
; ela “cancela” o fator
no diferencial, deixando uma integral de exponencial simples.
Passo 7
Calcular as integrais em
e
e combinar resultados.
- A integral em
é
- A integral em
é
- Multiplicando todos os fatores obtemos
Passo 8
Por que coordenadas cilíndricas simplificam — resumo didático e comparação com cartesianas.
- A região
é um cilindro reto com base circular. Coordenadas cilíndricas usam exatamente a distância radial e o ângulo , adaptando-se geometricamente à forma do domínio; por isso os limites ficam simples ( de a , de a , de a ). - O integrando
depende só de , ou seja só da distância ao eixo . Em cilíndricas isso vira , uma função de só — isso separa as variáveis e torna as integrais em e triviais. - Em coordenadas cartesianas a integral seria
e o cálculo da parte em
exigiria integrar
sobre o disco unitário — em cartesianas os limites para
em função de
são
a
, o que complica a integral. Em polar/cilíndricas a presença do fator
e a dependência radial do integrando tornam a integral direta.
- Conclusão intuitiva: escolher coordenadas que respeitem a simetria da região e do integrando transforma um problema com limites e integrando complicados em um produto de integrais simples.