Questão 1
Calcule a integral iterada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada dada. As informações fornecidas são:
- A integral é
- A integração interior é em relação a
com limites até . - A integração exterior é em relação a
com limites até .
A tarefa é avaliar essa integral dupla e obter um número real.
Passo 2
Vamos lembrar algumas propriedades úteis antes de calcular:
- Linearidade da integral: para funções
e e constantes ,
Aqui isso permite separar
em duas integrais.
- Quando integramos em relação a
, tratamos como uma constante (pois não depende de ). - Regra básica de primitiva: a primitiva de
é ; a primitiva de é ; e, em geral, se é constante,
Usando isso, vamos primeiro calcular a integral interna em
.
Passo 3
Escrevendo a integral interna e separando por linearidade:
Agora calcule a primeira parcela. A primitiva de
é
, então
Passo 4
Calcule a segunda parcela. Como
é constante em relação a
, pode-se tirar
para fora da integral:
Somando as duas parcelas, a integral interna fica
Passo 5
Agora integramos o resultado em
nos limites de
a
:
Calcule cada parte. Para a primeira parcela:
Para a segunda parcela, a primitiva de
é
, então
Passo 6
Somando as duas parcelas obtidas no passo anterior:
Portanto a integral dupla vale
.