Questão 1

Calcule a integral iterada:
\int_{0}^{2} \int_{1}^{3}(x+2 y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada dada. As informações fornecidas são:
  • A integral é
\int_{0}^{2} \int_{1}^{3} (x+2y)\, dx\, dy.
  • A integração interior é em relação a x com limites x=1 até x=3.
  • A integração exterior é em relação a y com limites y=0 até y=2.
    A tarefa é avaliar essa integral dupla e obter um número real.

Passo 2

Vamos lembrar algumas propriedades úteis antes de calcular:
  • Linearidade da integral: para funções f e g e constantes a,b,
\int (a f + b g)\,dx = a\int f\,dx + b\int g\,dx.
Aqui isso permite separar (x+2y) em duas integrais.
  • Quando integramos em relação a x, tratamos y como uma constante (pois y não depende de x).
  • Regra básica de primitiva: a primitiva de x é \tfrac{1}{2}x^{2}; a primitiva de 1 é x; e, em geral, se c é constante,
\int c\,dx = c x.
Usando isso, vamos primeiro calcular a integral interna em x.

Passo 3

Escrevendo a integral interna e separando por linearidade:
\int_{1}^{3} (x+2y)\,dx = \int_{1}^{3} x\,dx + \int_{1}^{3} 2y\,dx.
Agora calcule a primeira parcela. A primitiva de x é \tfrac{1}{2}x^{2}, então
\int_{1}^{3} x\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{1}^{3} = \tfrac{1}{2}(3^{2}) - \tfrac{1}{2}(1^{2}) = \tfrac{1}{2}(9-1) = \tfrac{8}{2} = 4.

Passo 4

Calcule a segunda parcela. Como y é constante em relação a x, pode-se tirar 2y para fora da integral:
\int_{1}^{3} 2y\,dx = 2y \int_{1}^{3} dx = 2y\,[x]_{1}^{3} = 2y(3-1) = 2y\cdot 2 = 4y.
Somando as duas parcelas, a integral interna fica
\int_{1}^{3} (x+2y)\,dx = 4 + 4y.

Passo 5

Agora integramos o resultado em y nos limites de 0 a 2:
\int_{0}^{2} (4+4y)\,dy = \int_{0}^{2} 4\,dy + \int_{0}^{2} 4y\,dy.
Calcule cada parte. Para a primeira parcela:
\int_{0}^{2} 4\,dy = 4[y]_{0}^{2} = 4(2-0)=8.
Para a segunda parcela, a primitiva de y é \tfrac{1}{2}y^{2}, então
\int_{0}^{2} 4y\,dy = 4\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{2} = 4\cdot \tfrac{1}{2}(2^{2}-0^{2}) = 2\cdot 4 = 8.

Passo 6

Somando as duas parcelas obtidas no passo anterior:
8 + 8 = 16.
Portanto a integral dupla vale 16.

Resposta

16

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