y=2 x
(a) Esboce a região.
(b) Escreva a integral dupla \iint_{R} y d A na ordem d y d x.
(c) Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado dá a região R limitada por duas curvas:
y = x^{2}
y = 2x
E pede três coisas:
(a) esboçar a região R;
(b) escrever a integral dupla \iint_{R} y\,dA na ordem dy\,dx;
(c) calcular essa integral.
Todas as informações relevantes estão acima: as duas equações das curvas que limitam R. A resolução começa encontrando onde elas se cruzam para determinar os limites em x e y.
Passo 2
Para saber os limites em x onde as curvas se encontram, iguala-se as duas expressões de y:
x^{2}=2x.
Isso é uma equação quadrática. Subtrai-se 2x de ambos os lados e fatoramos:
x^{2}-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)=0.
Assim as soluções são x=0 e x=2. Portanto as curvas se intersectam nos pontos correspondentes (quando x=0, y=0; quando x=2, y=4).
Passo 3
Vamos entender a posição relativa das curvas para decidir qual é a inferior e qual é a superior entre x=0 e x=2.
A parábola y=x^{2} tem vértice em (0,0) e abre para cima.
A reta y=2x passa por (0,0) com inclinação 2.
Para um x positivo pequeno (por exemplo x=1), calcula-se x^{2}=1 e 2x=2. Logo 2x é maior que x^{2} em 0<x<2. Portanto, no intervalo entre as interseções, a reta está acima da parábola e a parábola está abaixo.
Assim o esboço (a) é a região do plano limitada abaixo por y=x^{2}, acima por y=2x, com x variando de 0 a 2. Para desenhar rápido: trace a parábola y=x^{2}, trace a reta y=2x; marque os pontos (0,0) e (2,4); a região é a “folha” entre as curvas entre esses pontos.
Passo 4
Agora escrevemos a integral dupla na ordem dy\,dx. A ideia: para cada valor fixo de x (entre os limites em x), y varia da curva inferior até a curva superior.
Os valores de x vão de 0 a 2 (pegamos isso em
Passo 5
Para um dado x em [0,2], y vai de y=x^{2} (inferior) até y=2x (superior).
Portanto a integral dupla pedida em ordem dy\,dx é
\int_{0}^{2}\!\int_{x^{2}}^{2x} y \, dy \, dx.
Passo 6
Vou explicar como calcular essa integral passo a passo. Primeiro integramos em y tratando x como constante. A primitiva (antiderivada) de y em relação a y é \tfrac{1}{2}y^{2}, porque a regra é: para integrar y^{n} obtém-se \tfrac{1}{n+1}y^{n+1}; aqui n=1.
Aplicando o teorema fundamental do cálculo para a integral interna:
\int_{x^{2}}^{2x} y \, dy = \left.\tfrac{1}{2}y^{2}\right|_{y=x^{2}}^{y=2x} = \tfrac{1}{2}\big((2x)^{2} - (x^{2})^{2}\big).
Interpretação final: a integral dupla \iint_{R} y\,dA sobre a região R (entre y=x^{2} e y=2x para 0\le x\le2) vale \tfrac{32}{15}. Mantendo o raciocínio passo a passo, não foi necessária nenhuma técnica além de resolver a interseção, escrever limites corretamente e integrar termo a termo.
Resposta
(a) Região entre as curvas y=x^{2} (inferior) e y=2x (superior) para 0\le x\le2.
(b) \displaystyle \int_{0}^{2}\!\int_{x^{2}}^{2x} y \, dy \, dx.
(c) \displaystyle \frac{32}{15}