Questão 2

Considere a região R limitada por:
  • y=x^{2}
  • y=2 x
    (a) Esboce a região.
    (b) Escreva a integral dupla \iint_{R} y d A na ordem d y d x.
    (c) Calcule a integral.

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada por duas curvas:
  • y = x^{2}
  • y = 2x
E pede três coisas:
(a) esboçar a região R;
(b) escrever a integral dupla \iint_{R} y\,dA na ordem dy\,dx;
(c) calcular essa integral.
Todas as informações relevantes estão acima: as duas equações das curvas que limitam R. A resolução começa encontrando onde elas se cruzam para determinar os limites em x e y.

Passo 2

Para saber os limites em x onde as curvas se encontram, iguala-se as duas expressões de y:
x^{2}=2x.
Isso é uma equação quadrática. Subtrai-se 2x de ambos os lados e fatoramos:
x^{2}-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)=0.
Assim as soluções são x=0 e x=2. Portanto as curvas se intersectam nos pontos correspondentes (quando x=0, y=0; quando x=2, y=4).

Passo 3

Vamos entender a posição relativa das curvas para decidir qual é a inferior e qual é a superior entre x=0 e x=2.
  • A parábola y=x^{2} tem vértice em (0,0) e abre para cima.
  • A reta y=2x passa por (0,0) com inclinação 2.
Para um x positivo pequeno (por exemplo x=1), calcula-se x^{2}=1 e 2x=2. Logo 2x é maior que x^{2} em 0<x<2. Portanto, no intervalo entre as interseções, a reta está acima da parábola e a parábola está abaixo.
Assim o esboço (a) é a região do plano limitada abaixo por y=x^{2}, acima por y=2x, com x variando de 0 a 2. Para desenhar rápido: trace a parábola y=x^{2}, trace a reta y=2x; marque os pontos (0,0) e (2,4); a região é a “folha” entre as curvas entre esses pontos.

Passo 4

Agora escrevemos a integral dupla na ordem dy\,dx. A ideia: para cada valor fixo de x (entre os limites em x), y varia da curva inferior até a curva superior.
  • Os valores de x vão de 0 a 2 (pegamos isso em

Passo 5

  • Para um dado x em [0,2], y vai de y=x^{2} (inferior) até y=2x (superior).
Portanto a integral dupla pedida em ordem dy\,dx é
\int_{0}^{2}\!\int_{x^{2}}^{2x} y \, dy \, dx.

Passo 6

Vou explicar como calcular essa integral passo a passo. Primeiro integramos em y tratando x como constante. A primitiva (antiderivada) de y em relação a y é \tfrac{1}{2}y^{2}, porque a regra é: para integrar y^{n} obtém-se \tfrac{1}{n+1}y^{n+1}; aqui n=1.
Aplicando o teorema fundamental do cálculo para a integral interna:
\int_{x^{2}}^{2x} y \, dy = \left.\tfrac{1}{2}y^{2}\right|_{y=x^{2}}^{y=2x} = \tfrac{1}{2}\big((2x)^{2} - (x^{2})^{2}\big).

Passo 7

Agora simplificamos a expressão obtida:
(2x)^{2}=4x^{2},\qquad (x^{2})^{2}=x^{4}.
Então
\tfrac{1}{2}\big(4x^{2}-x^{4}\big)=2x^{2}-\tfrac{1}{2}x^{4}.
Logo a integral dupla original fica reduzida a uma integral simples em x:
\int_{0}^{2}\big(2x^{2}-\tfrac{1}{2}x^{4}\big)\,dx.

Passo 8

Agora integramos termo a termo em x. Usamos a mesma regra de potências: \int x^{n}\,dx=\tfrac{1}{n+1}x^{n+1}.
  • Para \int 2x^{2}\,dx a primitiva é 2\cdot\tfrac{1}{3}x^{3}=\tfrac{2}{3}x^{3}.
  • Para \int \tfrac{1}{2}x^{4}\,dx a primitiva é \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{5}x^{5}=\tfrac{1}{10}x^{5}.
Portanto uma antiderivada da integranda é
\tfrac{2}{3}x^{3}-\tfrac{1}{10}x^{5}.

Passo 9

Avalia-se essa primitiva nos limites x=0 e x=2:
\left.\Big(\tfrac{2}{3}x^{3}-\tfrac{1}{10}x^{5}\Big)\right|_{0}^{2} = \Big(\tfrac{2}{3}\cdot 2^{3} - \tfrac{1}{10}\cdot 2^{5}\Big) - 0.
Calculemos cada termo:
\tfrac{2}{3}\cdot 2^{3}=\tfrac{2}{3}\cdot 8=\tfrac{16}{3}, \qquad \tfrac{1}{10}\cdot 2^{5}=\tfrac{1}{10}\cdot 32=\tfrac{32}{10}=\tfrac{16}{5}.
Agora fazemos a diferença:
\tfrac{16}{3}-\tfrac{16}{5}.
Para somar/subtrair frações, coloca-se o mesmo denominador. O mínimo múltiplo comum de 3 e 5 é 15:
\tfrac{16}{3}=\tfrac{80}{15},\qquad \tfrac{16}{5}=\tfrac{48}{15}.
Então
\tfrac{80}{15}-\tfrac{48}{15}=\tfrac{32}{15}.

Passo 10

Interpretação final: a integral dupla \iint_{R} y\,dA sobre a região R (entre y=x^{2} e y=2x para 0\le x\le2) vale \tfrac{32}{15}. Mantendo o raciocínio passo a passo, não foi necessária nenhuma técnica além de resolver a interseção, escrever limites corretamente e integrar termo a termo.

Resposta

(a) Região entre as curvas y=x^{2} (inferior) e y=2x (superior) para 0\le x\le2.
(b) \displaystyle \int_{0}^{2}\!\int_{x^{2}}^{2x} y \, dy \, dx.
(c) \displaystyle \frac{32}{15}

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