Questão 2 Considere
tal que
. Defina a sequência
como
. Calcule, caso exista, o limite:
.
(valor: até 5 pontos)
(valor: até 5 pontos)
Passo 1
O enunciado dá uma sequência real com termo inicial
tal que
e a lei de recorrência
O que se pede: calcular, caso exista, o limite
Informações relevantes fornecidas:
-
é um número real com . - A sequência é definida recorrentemente por
. - A função
é sempre não negativa, então cada é não negativo enquanto a definição fizer sentido.
Passo 2
Primeiro precisamos garantir que todos os termos da sequência estão bem definidos e ficam num intervalo pequeno que facilite a análise. Vou mostrar por indução que, para todo
,
Base da indução: por hipótese
. Assim
satisfaz a propriedade.
Passo indutivo: suponha que
para algum
. Então
Como
temos
e, em particular,
, de modo que a raiz está bem definida e é positiva, então
. Além disso,
logo
Portanto
. Por indução, a propriedade vale para todo
. Conclusão: todos os termos da sequência pertencem ao intervalo
, isto nos dá um bom controle (em particular um limite possível não pode ser menor que
nem maior que
).
Passo 3
Agora vou mostrar que a sequência é monótona crescente, ou seja,
para todo
. Para isso analiso a função
Quero ver para quais
temos
. Como para
ambos
e
são não negativos, posso elevar ao quadrado sem alterar a desigualdade:
Reescrevendo,
Fatorando o polinômio obtemos
A desigualdade
é satisfeita quando
. Em particular, para todo
vale
. Como demonstrado no passo anterior temos
para todo
, então aplicando essa observação com
vem
Portanto a sequência
é estritamente crescente.
Passo 4
Juntando os resultados: a sequência é crescente (Passo 3) e todos os seus termos estão limitados superiormente por
(Passo 2). Logo a sequência é crescente e limitada superiormente por
.
Passo 5
Teorema útil (explicação curta e intuitiva): toda sequência que é monótona crescente e tem um limite superior finito converge. Intuição: uma sequência crescente aproxima-se de seu supremo e não pode “saltar” acima dele; formalmente, o supremo é o limite. Assim, pela propriedade monotona+limitada, existe
para algum número real
e além disso
. Também, por construção, como todos os
temos
.
Passo 6
Agora uso a recorrência para encontrar
. Como
e a função
é contínua, ao passar para o limite obtemos
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado (observando que
, então isso não cria soluções espúrias):
Reescrevendo,
que fatorado dá
As soluções dessa equação são
ou
. Porém já sabemos que todos os termos
estão em
, então o limite
também tem de satisfazer
. Assim
é impossível. Restou
Passo 7
Resumo final do raciocínio (rápido): todos os termos ficam em
por indução; a função
aumenta o valor quando
, então a sequência é crescente; é limitada por
, logo converge; o limite satisfaz
e a única solução compatível com os valores da sequência é
.