Questão 2 Considere a_{0} \in \mathbb{R} tal que 0<a_{0}<2. Defina a sequência a_{n+1}, n>0 como a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2}. Calcule, caso exista, o limite: \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}.
(valor: até 5 pontos)

Passo 1

O enunciado dá uma sequência real com termo inicial a_{0} tal que 0<a_{0}<2 e a lei de recorrência
a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2},\quad n\ge 0.
O que se pede: calcular, caso exista, o limite
\lim_{n\to+\infty} a_{n}.
Informações relevantes fornecidas:
  • a_{0} é um número real com 0<a_{0}<2.
  • A sequência é definida recorrentemente por a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2}.
  • A função \sqrt{\cdot} é sempre não negativa, então cada a_{n} é não negativo enquanto a definição fizer sentido.

Passo 2

Primeiro precisamos garantir que todos os termos da sequência estão bem definidos e ficam num intervalo pequeno que facilite a análise. Vou mostrar por indução que, para todo n\ge0,
0<a_{n}<2.
Base da indução: por hipótese 0<a_{0}<2. Assim a_{0} satisfaz a propriedade.
Passo indutivo: suponha que 0<a_{n}<2 para algum n. Então
a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2}.
Como a_{n}>0 temos a_{n}+2>2 e, em particular, a_{n}+2>0, de modo que a raiz está bem definida e é positiva, então a_{n+1}>0. Além disso,
a_{n}+2<2+2=4,
logo
a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2}<\sqrt{4}=2.
Portanto 0<a_{n+1}<2. Por indução, a propriedade vale para todo n. Conclusão: todos os termos da sequência pertencem ao intervalo (0,2), isto nos dá um bom controle (em particular um limite possível não pode ser menor que 0 nem maior que 2).

Passo 3

Agora vou mostrar que a sequência é monótona crescente, ou seja, a_{n+1}>a_{n} para todo n. Para isso analiso a função
f(x)=\sqrt{x+2}.
Quero ver para quais x temos f(x)>x. Como para x\in(0,2) ambos f(x) e x são não negativos, posso elevar ao quadrado sem alterar a desigualdade:
\sqrt{x+2}>x \iff x+2>x^{2}.
Reescrevendo,
x^{2}-x-2<0.
Fatorando o polinômio obtemos
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
A desigualdade (x-2)(x+1)<0 é satisfeita quando x\in(-1,2). Em particular, para todo x\in(0,2) vale \sqrt{x+2}>x. Como demonstrado no passo anterior temos a_{n}\in(0,2) para todo n, então aplicando essa observação com x=a_{n} vem
a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2}>a_{n}.
Portanto a sequência \{a_{n}\} é estritamente crescente.

Passo 4

Juntando os resultados: a sequência é crescente (Passo 3) e todos os seus termos estão limitados superiormente por 2 (Passo 2). Logo a sequência é crescente e limitada superiormente por 2.

Passo 5

Teorema útil (explicação curta e intuitiva): toda sequência que é monótona crescente e tem um limite superior finito converge. Intuição: uma sequência crescente aproxima-se de seu supremo e não pode “saltar” acima dele; formalmente, o supremo é o limite. Assim, pela propriedade monotona+limitada, existe
\lim_{n\to\infty} a_{n}=L
para algum número real L e além disso L\le 2. Também, por construção, como todos os a_n\ge0 temos L\ge0.

Passo 6

Agora uso a recorrência para encontrar L. Como a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2} e a função \sqrt{\cdot} é contínua, ao passar para o limite obtemos
L=\sqrt{L+2}.
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado (observando que L\ge0, então isso não cria soluções espúrias):
L^{2}=L+2.
Reescrevendo,
L^{2}-L-2=0,
que fatorado dá
(L-2)(L+1)=0.
As soluções dessa equação são L=2 ou L=-1. Porém já sabemos que todos os termos a_{n} estão em (0,2), então o limite L também tem de satisfazer 0\le L\le 2. Assim L=-1 é impossível. Restou
L=2.

Passo 7

Resumo final do raciocínio (rápido): todos os termos ficam em (0,2) por indução; a função x\mapsto\sqrt{x+2} aumenta o valor quando x\in(0,2), então a sequência é crescente; é limitada por 2, logo converge; o limite satisfaz L=\sqrt{L+2} e a única solução compatível com os valores da sequência é L=2.

Resposta

2

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