Mostre que a equação
não tem solução (com valor real).
Passo 1
Enunciado: mostrar que a equação
não tem solução com valor real.
Informações dadas (claras e usadas): suponho que é uma função real de
e que
existe e é um número real para os pontos considerados. O que se pede: provar que não existe função real
(ou mesmo ponto
com valores reais) que satisfaça a equação.
Informações dadas (claras e usadas): suponho que
Passo 2
Lema básico usado: para qualquer número real
vale
. Explicação curta e didática: se
então
; se
então
e
. Outra visão intuitiva: o quadrado de qualquer número real nunca é negativo.
Passo 3
Aplicando o lema aos termos da equação: para cada
em que
e
sejam reais, temos
e
Passo 4
Somando as desigualdades e acrescentando 4 obtemos
Logo o lado esquerdo da equação é sempre maior ou igual a
, então é estritamente positivo:
.
Passo 5
Como o lado esquerdo nunca pode ser zero (ele é sempre maior que
, na verdade maior ou igual a
), não existe nenhum ponto
nem nenhuma função real
que satisfaça
Observação alternativa curta: para zerar a soma seria preciso
e
e também
; as duas primeiras implicariam
e
, mas
é impossível, logo contradição.
Resposta
Não existe solução real para
.