Mostre que a equação (d y / d x)^{2}+y^{2}+4=0 não tem solução (com valor real).

Passo 1

Enunciado: mostrar que a equação \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}+y^{2}+4=0 não tem solução com valor real.
Informações dadas (claras e usadas): suponho que y é uma função real de x e que \dfrac{dy}{dx} existe e é um número real para os pontos considerados. O que se pede: provar que não existe função real y(x) (ou mesmo ponto x com valores reais) que satisfaça a equação.

Passo 2

Lema básico usado: para qualquer número real t vale t^{2}\ge 0. Explicação curta e didática: se t\ge 0 então t^{2}\ge 0; se t<0 então (-t)>0 e (-t)^{2}=t^{2}\ge 0. Outra visão intuitiva: o quadrado de qualquer número real nunca é negativo.

Passo 3

Aplicando o lema aos termos da equação: para cada x em que y(x) e \dfrac{dy}{dx}(x) sejam reais, temos
\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}\ge 0
e
y^{2}\ge 0.

Passo 4

Somando as desigualdades e acrescentando 4 obtemos
\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}+y^{2}+4 \ge 0+0+4 = 4.
Logo o lado esquerdo da equação é sempre maior ou igual a 4, então é estritamente positivo: \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}+y^{2}+4>0.

Passo 5

Como o lado esquerdo nunca pode ser zero (ele é sempre maior que 0, na verdade maior ou igual a 4), não existe nenhum ponto x nem nenhuma função real y(x) que satisfaça
\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}+y^{2}+4=0.
Observação alternativa curta: para zerar a soma seria preciso \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}=0 e y^{2}=0 e também 4=0; as duas primeiras implicariam y=0 e y'=0, mas 4=0 é impossível, logo contradição.

Resposta

Não existe solução real para \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}+y^{2}+4=0.

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