Questão 1 Assinale (
) ou (
). Caso falso, dê um contraexemplo.
(valor: até 6 pontos)
a. Toda sequência alternada é divergente.
b Toda sequência divergente é não limitada.
c Se uma sequência é limitada, então a sequência é convergente.
d. Se o termo geral de uma sequência tender a zero, então a sequência é convergente.
(valor: até 6 pontos)
a. Toda sequência alternada é divergente.
b Toda sequência divergente é não limitada.
c Se uma sequência é limitada, então a sequência é convergente.
d. Se o termo geral de uma sequência tender a zero, então a sequência é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para marcar (
) ou (
) em quatro afirmações sobre sequências e, se uma afirmação for falsa, dar um contraexemplo. As quatro afirmações são:
a. Toda sequência alternada é divergente.
b. Toda sequência divergente é não limitada.
c. Se uma sequência é limitada, então a sequência é convergente.
d. Se o termo geral de uma sequência tender a zero, então a sequência é convergente.
b. Toda sequência divergente é não limitada.
c. Se uma sequência é limitada, então a sequência é convergente.
d. Se o termo geral de uma sequência tender a zero, então a sequência é convergente.
As informações relevantes dadas: cada linha é uma afirmação sobre propriedades de sequências (alternância de sinais, divergência, limitada, limite igual a zero). O objetivo é decidir verdade/falsidade e, quando falso, apresentar um contraexemplo (ou seja, uma sequência que satisfaz as hipóteses mas não a conclusão).
Passo 2
Antes de começar a resolver, vamos lembrar definicões e ideias importantes, com calma e sem pressa:
-
Sequência: uma sequência é uma função cujo domínio é os naturais. Escrevemos uma sequência por
ou simplesmente . -
Convergência: dizemos que
converge para (escrevemos ) se, para todo , existe tal que, para todo , temos . Essa é a definição - . -
Divergência: a sequência é divergente se ela não converge, isto é, não existe
que satisfaça a definição acima. -
Sequência limitada (ou bounded):
é limitada se existe tal que para todo . Em palavras: os termos ficam dentro de um intervalo finito. -
Sequência alternada: normalmente chamamos de alternada uma sequência cujos termos mudam de sinal regularmente (por exemplo, o fator
produz alternância de sinais). Ex.: com .
Esses conceitos são cruciais para analisar cada afirmação.
Passo 3
Analisando a afirmação (a): “Toda sequência alternada é divergente.”
Vamos entender primeiro: uma sequência alternada tem sinais que se alternam, mas os módulos dos termos podem diminuir e tender a zero. Portanto alternância de sinais, por si só, não impede convergência.
Contraexemplo (constructivo): considere
Mostro que
é alternada e converge a
:
- É alternada porque o fator
muda de sinal a cada . - Calculo o limite:
e sabemos que . Pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem), como
e ambos os extremos tendem a
, segue que
. Portanto
é convergente.
Conclusão do passo: a afirmação (a) é falsa porque apresentamos uma sequência alternada que converge (logo não é sempre divergente).
Passo 4
Analisando a afirmação (b): “Toda sequência divergente é não limitada.” (ou seja: se diverge então não é limitada.)
Intuição: esta afirmação diz que toda sequência que não converge deve ser necessariamente não limitada (ou seja, tem termos que vão para infinito em módulo). Mas isso é falso: uma sequência pode ser divergente por oscilar entre dois valores sem fugir para infinito, permanecendo limitada.
Contraexemplo simples: considere
- Essa sequência é limitada porque
para todo (basta tomar ). - Entretanto ela é divergente, porque as subsequências
e convergem para limites diferentes ( e ). Se a sequência convergisse, todas as suas subsequências convergiriam para o mesmo limite; como temos duas subsequências com limites distintos, a sequência não converge.
Conclusão do passo: (b) é falsa — existe sequências divergentes e ao mesmo tempo limitadas (como
).
Passo 5
Analisando a afirmação (c): “Se uma sequência é limitada, então a sequência é convergente.”
Essa é uma afirmação popularmente confundida: “limitada” não implica automaticamente “convergente”. Boundedness é uma condição necessária para existir limite finito (se converge então é limitada), mas não é suficiente.
Contraexemplo: novamente a sequência
serve para refutar (c):
- Já mostrei que é limitada (
). - Já mostrei que é divergente (oscila entre
e ). Portanto é limitada e não convergente.
Complemento didático: existe um teorema útil — Bolzano–Weierstrass — que diz que toda sequência limitada tem uma subsequência convergente. Isso é consistente:
tem subsequências convergentes (
e
), mas a sequência inteira não converge. Assim, limitada não implica convergente.
Conclusão do passo: (c) é falsa.
Passo 6
Analisando a afirmação (d): “Se o termo geral de uma sequência tender a zero, então a sequência é convergente.”
Aqui é importante interpretar bem as palavras: “tender a zero” significa exatamente que o limite do termo geral é zero, isto é,
. A definição de convergência é justamente a existência de um limite finito; portanto se afirmamos que
, isso é dizer que a sequência converge — para
.
Prova formal curta (usando a definição
-
): suponha que
tem o limite
. Então, por definição, para todo
existe
tal que, para todo
, temos
. Isso é exatamente a definição de "a sequência
converge para
". Logo a afirmação é verdadeira.
Observação prática e preventiva de confusão: às vezes estudantes confundem essa frase com o contexto de séries (somatórias): para uma série
convergir é necessário (mas não suficiente) que
. Mas aqui estamos apenas falando da sequência
, não da soma. Para sequência, “tender a zero” = “converge para zero”.
Conclusão do passo: (d) é verdadeira.
Passo 7
Recapitulando de forma direta:
- (a) é falsa — contraexemplo
que converge para . - (b) é falsa — contraexemplo
é divergente e limitada. - (c) é falsa — contraexemplo
é limitada e não convergente. - (d) é verdadeira — “tender a zero” significa exatamente convergir para
(prova pelo critério - ).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)