Questão 1 Assinale ( V ) ou ( F ). Caso falso, dê um contraexemplo.
(valor: até 6 pontos)
a. Toda sequência alternada é divergente.
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b Toda sequência divergente é não limitada.
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c Se uma sequência é limitada, então a sequência é convergente.
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d. Se o termo geral de uma sequência tender a zero, então a sequência é convergente.
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Passo 1

O enunciado pede para marcar ( V ) ou ( F ) em quatro afirmações sobre sequências e, se uma afirmação for falsa, dar um contraexemplo. As quatro afirmações são:
a. Toda sequência alternada é divergente.
b. Toda sequência divergente é não limitada.
c. Se uma sequência é limitada, então a sequência é convergente.
d. Se o termo geral de uma sequência tender a zero, então a sequência é convergente.
As informações relevantes dadas: cada linha é uma afirmação sobre propriedades de sequências (alternância de sinais, divergência, limitada, limite igual a zero). O objetivo é decidir verdade/falsidade e, quando falso, apresentar um contraexemplo (ou seja, uma sequência que satisfaz as hipóteses mas não a conclusão).

Passo 2

Antes de começar a resolver, vamos lembrar definicões e ideias importantes, com calma e sem pressa:
  • Sequência: uma sequência é uma função cujo domínio é os naturais. Escrevemos uma sequência por (a_n)_{n\ge1} ou simplesmente a_n.
  • Convergência: dizemos que a_n converge para L (escrevemos a_n\to L) se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, temos |a_n-L|<\varepsilon. Essa é a definição \varepsilon- N.
  • Divergência: a sequência é divergente se ela não converge, isto é, não existe L que satisfaça a definição acima.
  • Sequência limitada (ou bounded): (a_n) é limitada se existe M>0 tal que |a_n|\le M para todo n. Em palavras: os termos ficam dentro de um intervalo finito.
  • Sequência alternada: normalmente chamamos de alternada uma sequência cujos termos mudam de sinal regularmente (por exemplo, o fator (-1)^n produz alternância de sinais). Ex.: a_n = (-1)^n b_n com b_n>0.
Esses conceitos são cruciais para analisar cada afirmação.

Passo 3

Analisando a afirmação (a): “Toda sequência alternada é divergente.”
Vamos entender primeiro: uma sequência alternada tem sinais que se alternam, mas os módulos dos termos podem diminuir e tender a zero. Portanto alternância de sinais, por si só, não impede convergência.
Contraexemplo (constructivo): considere
a_n = \frac{(-1)^n}{n}.
Mostro que a_n é alternada e converge a 0:
  • É alternada porque o fator (-1)^n muda de sinal a cada n.
  • Calculo o limite: |a_n| = \frac{1}{n} e sabemos que \frac{1}{n}\to 0. Pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem), como
-\frac{1}{n} \le a_n \le \frac{1}{n}
e ambos os extremos tendem a 0, segue que a_n\to 0. Portanto a_n é convergente.
Conclusão do passo: a afirmação (a) é falsa porque apresentamos uma sequência alternada que converge (logo não é sempre divergente).

Passo 4

Analisando a afirmação (b): “Toda sequência divergente é não limitada.” (ou seja: se diverge então não é limitada.)
Intuição: esta afirmação diz que toda sequência que não converge deve ser necessariamente não limitada (ou seja, tem termos que vão para infinito em módulo). Mas isso é falso: uma sequência pode ser divergente por oscilar entre dois valores sem fugir para infinito, permanecendo limitada.
Contraexemplo simples: considere
a_n = (-1)^n.
  • Essa sequência é limitada porque |a_n|\le 1 para todo n (basta tomar M=1).
  • Entretanto ela é divergente, porque as subsequências a_{2n}=1 e a_{2n+1}=-1 convergem para limites diferentes ( 1 e -1). Se a sequência convergisse, todas as suas subsequências convergiriam para o mesmo limite; como temos duas subsequências com limites distintos, a sequência não converge.
Conclusão do passo: (b) é falsa — existe sequências divergentes e ao mesmo tempo limitadas (como a_n=(-1)^n).

Passo 5

Analisando a afirmação (c): “Se uma sequência é limitada, então a sequência é convergente.”
Essa é uma afirmação popularmente confundida: “limitada” não implica automaticamente “convergente”. Boundedness é uma condição necessária para existir limite finito (se converge então é limitada), mas não é suficiente.
Contraexemplo: novamente a sequência
a_n = (-1)^n
serve para refutar (c):
  • Já mostrei que é limitada ( |a_n|\le 1).
  • Já mostrei que é divergente (oscila entre 1 e -1). Portanto é limitada e não convergente.
Complemento didático: existe um teorema útil — Bolzano–Weierstrass — que diz que toda sequência limitada tem uma subsequência convergente. Isso é consistente: a_n=(-1)^n tem subsequências convergentes ( 1,1,1,\dots e -1,-1,-1,\dots), mas a sequência inteira não converge. Assim, limitada não implica convergente.
Conclusão do passo: (c) é falsa.

Passo 6

Analisando a afirmação (d): “Se o termo geral de uma sequência tender a zero, então a sequência é convergente.”
Aqui é importante interpretar bem as palavras: “tender a zero” significa exatamente que o limite do termo geral é zero, isto é, a_n\to 0. A definição de convergência é justamente a existência de um limite finito; portanto se afirmamos que a_n\to 0, isso é dizer que a sequência converge — para 0.
Prova formal curta (usando a definição \varepsilon- N): suponha que a_n tem o limite 0. Então, por definição, para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, temos |a_n-0|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de "a sequência a_n converge para 0". Logo a afirmação é verdadeira.
Observação prática e preventiva de confusão: às vezes estudantes confundem essa frase com o contexto de séries (somatórias): para uma série \sum a_n convergir é necessário (mas não suficiente) que a_n\to 0. Mas aqui estamos apenas falando da sequência a_n, não da soma. Para sequência, “tender a zero” = “converge para zero”.
Conclusão do passo: (d) é verdadeira.

Passo 7

Recapitulando de forma direta:
  • (a) é falsa — contraexemplo a_n=\dfrac{(-1)^n}{n} que converge para 0.
  • (b) é falsa — contraexemplo a_n=(-1)^n é divergente e limitada.
  • (c) é falsa — contraexemplo a_n=(-1)^n é limitada e não convergente.
  • (d) é verdadeira — “tender a zero” significa exatamente convergir para 0 (prova pelo critério \varepsilon- N).

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F
(d) V

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