Questão 2. Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & k \\\\ 0 & 1 & -2 & 4 \\\\ -1 & -1 & -3 & 0 \\\ k+1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
a) (2.0 pt) Calcule \operatorname{det} A.
b) (1.0 pt) Encontre todos os valores de k para que a matriz A não admita uma matriz inversa.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & k \\\\ 0 & 1 & -2 & 4 \\\\ -1 & -1 & -3 & 0 \\\ k+1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
e pede:
  • (a) calcular \det A;
  • (b) encontrar todos os valores de k para os quais A não admite inversa.
As entradas da matriz foram copiadas diretamente do enunciado acima.

Passo 2

Escolho expandir o determinante por cofactores ao longo da segunda coluna. Justificativa prática (sem entrar em teoria pesada ainda): a segunda coluna tem muitos zeros ( 0,1,-1,0), então a expansão fica mais curta e limpa.
Lembrete da fórmula de expansão por coluna j:
\det A=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a matriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna j.
Aplicando a expansão ao longo da segunda coluna ( j=2), os termos com a_{12}=0 e a_{42}=0 caem, sobrando apenas as contribuições das posições (2,2) e (3,2).

Passo 3

Escrevendo as contribuições:
\det A = (-1)^{2+2}\,a_{22}\det(M_{22}) + (-1)^{3+2}\,a_{32}\det(M_{32}).
Substituindo a_{22}=1 e a_{32}=-1:
\det A = 1\cdot\det(M_{22}) + (-1)^{5}\cdot(-1)\cdot\det(M_{32}) = \det(M_{22}) + \det(M_{32}).
Agora vamos calcular \det(M_{22}) e \det(M_{32}) separadamente.

Passo 4

Primeiro, defino a matriz M_{22} (removendo linha 2 e coluna 2):
M_{22}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & k\\[4pt] -1 & -3 & 0\\[4pt] k+1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Usarei a fórmula padrão para determinante 3\times3:
\det\begin{pmatrix}a&b&c\\\ d&e&f\\\ g&h&i\end{pmatrix} = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aplicando com a=1,\\ b=1,\\ c=k,\\ d=-1,\\ e=-3,\\ f=0,\\ g=k+1,\\ h=1,\\ i=1:
\begin{aligned} \det(M_{22}) &= 1\big((-3)\cdot1 - 0\cdot1\big) - 1\big((-1)\cdot1 - 0\cdot(k+1)\big) + k\big((-1)\cdot1 - (-3)\cdot(k+1)\big)\\[4pt] &= 1\big(-3\big) - 1\big(-1\big) + k\big(-1 + 3(k+1)\big)\\[4pt] &= -3 + 1 + k\big(3k+2\big)\\[4pt] &= 3k^{2}+2k-2. \end{aligned}]

Passo 5

Agora a matriz M_{32} (removendo linha 3 e coluna 2):
M_{32}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & k\\[4pt] 0 & -2 & 4\\[4pt] k+1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Usando a mesma fórmula para 3\times3 com a=1,\\ b=1,\\ c=k,\\ d=0,\\ e=-2,\\ f=4,\\ g=k+1,\\ h=1,\\ i=1:
\begin{aligned} \det(M_{32}) &= 1\big((-2)\cdot1 - 4\cdot1\big) - 1\big(0\cdot1 - 4\cdot(k+1)\big) + k\big(0\cdot1 - (-2)\cdot(k+1)\big)\\[4pt] &= 1\big(-2 - 4\big) - 1\big( -4(k+1)\big) + k\big(2(k+1)\big)\\[4pt] &= -6 + 4(k+1) + 2k(k+1)\\[4pt] &= -6 + 4k+4 + 2k^{2}+2k\\[4pt] &= 2k^{2}+6k-2. \end{aligned}]

Passo 6

Somando os dois determinantes:
\det A = \det(M_{22}) + \det(M_{32}) = (3k^{2}+2k-2) + (2k^{2}+6k-2).
Simplificando:
\det A = 5k^{2}+8k-4.
Podemos fatorar esse polinômio. Usando a fórmula quadrática para encontrar as raízes de 5k^{2}+8k-4=0:
k=\frac{-8\pm\sqrt{8^{2}-4\cdot5\cdot(-4)}}{2\cdot5} =\frac{-8\pm\sqrt{64+80}}{10} =\frac{-8\pm\sqrt{144}}{10} =\frac{-8\pm12}{10}.
Assim as raízes são k=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5} e k=\dfrac{-20}{10}=-2. Logo a fatoração é
\det A=(5k-2)(k+2).

Passo 7

Para a parte (b): uma matriz não admite inversa exatamente quando seu determinante é zero. Logo A não é invertível quando
\det A=(5k-2)(k+2)=0,
isto é, para k=\dfrac{2}{5} ou k=-2.

Resposta

\det A=(5k-2)(k+2)=5k^{2}+8k-4
k=\dfrac{2}{5},\;k=-2

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