Questão 3. (2.0 pt) Seja \mathcal{P}_{2}(x) o espaço vetorial dos polinômios em x de grau menor ou igual a 2 , e sejam \alpha=\left\{x, 1+x^{2}, x+x^{2}\right\} e \beta=\left\{1,1+x, x^{2}\right\} bases de \mathcal{P}_{2}(x). Determine a matriz mudança de base de \beta para \alpha.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 2 e duas bases:
  • \alpha=\{x,\;1+x^{2},\;x+x^{2}\}.
  • \beta=\{1,\;1+x,\;x^{2}\}.
O que se pede: determinar a matriz de mudança de base de \beta para \alpha. Ou seja, a matriz P tal que, para qualquer polinômio v\in\mathcal{P}_2(x),
[v]_{\alpha}=P\,[v]_{\beta}.
Lista de informações relevantes dadas: os vetores (polinômios) que formam \alpha e \beta (já escritos acima).

Passo 2

Método (explicação didática): para obter a matriz de mudança de base de \beta para \alpha é preciso escrever cada vetor da base \beta como combinação linear dos vetores da base \alpha. Se, para o vetor \beta_j, tivermos
\beta_j = c_{1j}\,a_1 + c_{2j}\,a_2 + c_{3j}\,a_3,
onde a_1,a_2,a_3 são os vetores de \alpha, então a coluna j da matriz P é o vetor coluna \begin{pmatrix}c_{1j}\c_{2j}\c_{3j}\end{pmatrix}. Isso ocorre porque a transformação identidade quando descrita em coordenadas faz exatamente essa conversão de coordenadas de uma base para outra.
Aqui a_1=x,\;a_2=1+x^2,\;a_3=x+x^2 e \beta_1=1,\;\beta_2=1+x,\;\beta_3=x^2. Vou achar os coeficientes c_{ij} equacionando coeficientes dos termos 1,x,x^2.

Passo 3

Expressar \beta_1=1\) em função de \(\alpha\). Procuro \(c_1,c_2,c_3\) tais que \[c_1 x + c_2(1+x^2) + c_3(x+x^2) = 1.
Separando coeficientes dos termos 1,x,x^2 resulta o sistema
\begin{cases} \text{constante: } & c_2 = 1,\\[4pt] \text{coef. de }x: & c_1 + c_3 = 0,\\[4pt] \text{coef. de }x^2: & c_2 + c_3 = 0. \end{cases}
Com c_2=1\] da última equação \(1 + c_3 = 0\Rightarrow c_3=-1. Então da segunda c_1 + (-1)=0\Rightarrow c_1=1.
Portanto as coordenadas de 1 em \alpha são
[1]_{\alpha} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Expressar \beta_2=1+x\) em função de \(\alpha\). Procuro \(c_1,c_2,c_3\) tais que \[c_1 x + c_2(1+x^2) + c_3(x+x^2) = 1+x.
Separando coeficientes:
\begin{cases} \text{constante: } & c_2 = 1,\\[4pt] \text{coef. de }x: & c_1 + c_3 = 1,\\[4pt] \text{coef. de }x^2: & c_2 + c_3 = 0. \end{cases}
Com c_2=1\] da última equação \(1 + c_3 = 0\Rightarrow c_3=-1. Então c_1 + (-1)=1\Rightarrow c_1=2.
Portanto as coordenadas de 1+x em \alpha são
[1+x]_{\alpha} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Expressar \beta_3=x^2\) em função de \(\alpha\). Procuro \(c_1,c_2,c_3\) tais que \[c_1 x + c_2(1+x^2) + c_3(x+x^2) = x^2.
Separando coeficientes:
\begin{cases} \text{constante: } & c_2 = 0,\\[4pt] \text{coef. de }x: & c_1 + c_3 = 0,\\[4pt] \text{coef. de }x^2: & c_2 + c_3 = 1. \end{cases}
Com c_2=0\] da última equação \(0 + c_3 = 1\Rightarrow c_3=1. Então c_1 + 1 = 0\Rightarrow c_1=-1.
Portanto as coordenadas de x^2 em \alpha são
[x^2]_{\alpha} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

As colunas da matriz de mudança de base P (de \beta para \alpha) são exatamente os vetores coluna encontrados: primeira coluna [1]_{\alpha}, segunda [1+x]_{\alpha}, terceira [x^2]_{\alpha}. Faço um chequezinho rápido (opcional): se eu aplicar P às coordenadas de x em \beta devo obter [x]_{\alpha}=(1,0,0)^T. (Isso confirma a consistência do procedimento.)

Resposta

P=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}]

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