Vetores:
Verifique se estão no mesmo plano os pontos: A(1,0,-2), B(0,2,0), C(1,-2,2) e D(0,0,1).

Passo 1

Temos quatro pontos em R^3:
A(1,0,-2), B(0,2,0), C(1,-2,2), D(0,0,1)
Para verificar se estão no mesmo plano, vamos usar o teste do produto misto (produto escalar triplo): quatro pontos são coplanares se, e somente se, o volume do paralelogramo definido pelos vetores AB, AC, AD for zero, ou seja,
l(ABtimesACr)cdotAD=0

Passo 2

Calculemos os três vetores:
AB = B-A = (0-1,;2-0,;0-(-2)) = (-1,,2,,2),
AC = C-A = (1-1,;-2-0,;2-(-2)) = (0,,-2,,4),
AD = D-A = (0-1,;0-0,;1-(-2)) = (-1,,0,,3)

Passo 3

Primeiro calculamos o produto vetorial ABtimesAC:
ABtimesAC = i & j & k -1 & 2 & 2 0 & -2 & 4 = l(2cdot4 - 2cdot(-2)r)i - l((-1)cdot4 - 2cdot0r)j + l((-1)cdot(-2) - 2cdot0r)k
= (8+4),i -(-4),j + (2),k = (12,,4,,2)
Agora o produto escalar com AD:
l(ABtimesACr)cdotAD = (12,,4,,2)cdot(-1,,0,,3) = 12cdot(-1) + 4cdot0 + 2cdot3 = -12 + 6 = -6 neq 0
Como o produto misto é diferente de zero, o volume não é nulo e, portanto, os quatro pontos não são coplanares.

Resposta

Os pontos A, B, C e D não estão no mesmo plano.

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