Questão 7:
Considere o modelo newtoniano simplificado para a órbita de um planeta em torno do Sol, dado pela equação diferencial
onde
é a distância do planeta ao Sol,
é o ângulo polar e
é uma constante. Sabendo que
, determine
. Em seguida, obtenha a expressão correspondente para
e mostre que ela pode ser escrita na forma
determinando as constantes
e
em função de
e
.
Considere o modelo newtoniano simplificado para a órbita de um planeta em torno do Sol, dado pela equação diferencial
Passo 1
O enunciado fornece:
- A equação diferencial ordinária
onde
é constante e
.
- Condições iniciais:
e .
O que se pede:
- Determinar
satisfazendo a equação e as condições iniciais. - Obter
e mostrar que pode ser escrita na forma
determinando
e
em função de
e
.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): para uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo, a solução geral é soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular. Aqui escrevo a equação homogênea associada e vou resolvê-la primeiro:
Explico como se resolve: assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na homogênea obtém-se a equação característica
cuja solução é
. A partir das raízes puramente imaginárias vem a combinação linear de cosseno e seno: a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar. (Intuição: funções trigonométricas aparecem quando as raízes são imaginárias.)
Passo 3
Agora procure uma solução particular da equação completa
Como o lado direito é constante, uma boa aposta é uma solução particular constante, diga
com
constante. Substituindo:
Portanto uma solução particular é
.
Passo 4
Somando homogênea e particular obtemos a solução geral da EDO:
Aqui
e
ainda são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais. Relembre que
multiplica
e
multiplica
.
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
. Avaliando
em
:
Igualando a
resulta
Segundo, compute a derivada
. Derivando
:
A condição inicial diz
. Avaliando em
:
Logo
.
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução explícita pedida:
Interpretando: é a soma de uma constante
com uma oscilação em
de amplitude
.
Passo 7
Agora obtemos
a partir de
:
Queremos colocar essa expressão na forma
Para isso, fatoramos
no denominador:
Definimos a excentricidade intermediária
Então
Invertendo para
:
Finalmente identificamos o parâmetro
como
de modo que
Passo 8
Resumo das constantes em função de
e
:
Observações breves e motivadoras: como
, tem-se
. O valor de
(excentricidade) determina o tipo de trajetória:
elipse,
parábola,
hipérbole — aqui
depende de
e
. Se quiser, dá para verificar casos numéricos rápidos substituindo valores para
e
.