Questão 7:
Considere o modelo newtoniano simplificado para a órbita de um planeta em torno do Sol, dado pela equação diferencial
\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}+u=\alpha,
onde u(\theta)=1 / r(\theta), r(\theta) é a distância do planeta ao Sol, \theta é o ângulo polar e \alpha>0 é uma constante. Sabendo que u(0)=u_{0}, \frac{d u}{d \theta}(0)=0, determine u(\theta). Em seguida, obtenha a expressão correspondente para r(\theta) e mostre que ela pode ser escrita na forma
r(\theta)=\frac{p}{1+e \cos \theta},
determinando as constantes p e e em função de \alpha e u_{0}.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A equação diferencial ordinária
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = \alpha,
onde \alpha>0 é constante e u(\theta)=1/r(\theta).
  • Condições iniciais: u(0)=u_{0} e \displaystyle \frac{du}{d\theta}(0)=0.
O que se pede:
  1. Determinar u(\theta) satisfazendo a equação e as condições iniciais.
  2. Obter r(\theta)=1/u(\theta) e mostrar que pode ser escrita na forma
r(\theta)=\frac{p}{1+e\cos\theta},
determinando p e e em função de \alpha e u_{0}.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): para uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo, a solução geral é soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular. Aqui escrevo a equação homogênea associada e vou resolvê-la primeiro:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = 0.
Explico como se resolve: assumimos uma solução do tipo u(\theta)=e^{r\theta}. Substituindo na homogênea obtém-se a equação característica
r^{2}+1=0,
cuja solução é r=\pm i. A partir das raízes puramente imaginárias vem a combinação linear de cosseno e seno: a solução geral da homogênea é
u_h(\theta)=A\cos\theta + B\sin\theta,
onde A e B são constantes a determinar. (Intuição: funções trigonométricas aparecem quando as raízes são imaginárias.)

Passo 3

Agora procure uma solução particular da equação completa
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = \alpha.
Como o lado direito é constante, uma boa aposta é uma solução particular constante, diga u_p(\theta)=C com C constante. Substituindo:
0 + C = \alpha \quad\Rightarrow\quad C=\alpha.
Portanto uma solução particular é u_p(\theta)=\alpha.

Passo 4

Somando homogênea e particular obtemos a solução geral da EDO:
u(\theta)=u_h(\theta)+u_p(\theta)=A\cos\theta + B\sin\theta + \alpha.
Aqui A e B ainda são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais. Relembre que A multiplica \cos\theta e B multiplica \sin\theta.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para encontrar A e B.
Primeiro, u(0)=u_{0}. Avaliando u(\theta) em \theta=0:
u(0)=A\cos 0 + B\sin 0 + \alpha = A\cdot 1 + B\cdot 0 + \alpha = A + \alpha.
Igualando a u_{0} resulta
A+\alpha = u_{0}\quad\Rightarrow\quad A = u_{0}-\alpha.
Segundo, compute a derivada \displaystyle \frac{du}{d\theta}. Derivando u(\theta):
\frac{du}{d\theta}(\theta) = -A\sin\theta + B\cos\theta + 0.
A condição inicial diz \displaystyle \frac{du}{d\theta}(0)=0. Avaliando em \theta=0:
\frac{du}{d\theta}(0) = -A\sin 0 + B\cos 0 = 0 + B\cdot 1 = B.
Logo B=0.

Passo 6

Substituindo A e B na solução geral obtemos a solução explícita pedida:
u(\theta) = \alpha + (u_{0}-\alpha)\cos\theta.
Interpretando: é a soma de uma constante \alpha com uma oscilação em \cos\theta de amplitude u_{0}-\alpha.

Passo 7

Agora obtemos r(\theta) a partir de u(\theta)=1/r(\theta):
r(\theta)=\frac{1}{u(\theta)}=\frac{1}{\alpha + (u_{0}-\alpha)\cos\theta}.
Queremos colocar essa expressão na forma
r(\theta)=\frac{p}{1+e\cos\theta}.
Para isso, fatoramos \alpha no denominador:
u(\theta)=\alpha\Bigl(1 + \frac{u_{0}-\alpha}{\alpha}\cos\theta\Bigr).
Definimos a excentricidade intermediária
e := \frac{u_{0}-\alpha}{\alpha} = \frac{u_{0}}{\alpha}-1.
Então
u(\theta)=\alpha(1+e\cos\theta).
Invertendo para r:
r(\theta)=\frac{1}{\alpha(1+e\cos\theta)}.
Finalmente identificamos o parâmetro p como
p:=\frac{1}{\alpha},
de modo que
r(\theta)=\frac{p}{1+e\cos\theta}.

Passo 8

Resumo das constantes em função de \alpha e u_{0}:
p=\frac{1}{\alpha},\qquad e=\frac{u_{0}}{\alpha}-1.
Observações breves e motivadoras: como \alpha>0, tem-se p>0. O valor de e (excentricidade) determina o tipo de trajetória: e<1 elipse, e=1 parábola, e>1 hipérbole — aqui e depende de u_{0} e \alpha. Se quiser, dá para verificar casos numéricos rápidos substituindo valores para u_{0} e \alpha.

Resposta

u(\theta)=\alpha+(u_{0}-\alpha)\cos\theta
r(\theta)=\frac{p}{1+e\cos\theta}
p=\frac{1}{\alpha},\qquad e=\frac{u_{0}}{\alpha}-1

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