Supondo que inicialmente o capacitor esteja descarregado e que não haja corrente no circuito, isto é,
determine a carga
e a corrente
.
Passo 1
O enunciado fornece apenas as condições iniciais
e pede para determinar
e
.
Informações relevantes que o enunciado deu:
- A função incógnita é a carga
. - As condições iniciais são
e . - A corrente é definida por
.
Informação que falta (necessária para uma solução única):
- Não foi fornecida a equação diferencial que rege
(por exemplo, os parâmetros do circuito e a fonte elétrica). Sem a equação (ou sem os valores de e a fonte num problema de circuito RLC) não é possível determinar uma solução numérica/única para e .
Passo 2
Vou agora escrever a equação diferencial padrão que aparece em muitos problemas de circuitos elétricos (série RLC), explicando cada termo — porque é praticamente sempre essa equação que o enunciado subentende quando fala de carga num capacitor com indutor e resistor.
Considere um circuito série com indutor de indutância
, resistor de resistência
, capacitor de capacitância
e uma fonte de tensão
. Aplicando a Lei das Malhas (KVL) e lembrando que a corrente
é
, obtém‑se:
Substituindo
e escrevendo em termos de
dá a ODE clássica:
Aqui:
-
é a carga no capacitor (Coulombs), -
é a corrente (Amperes), -
tem unidades de Henry, em Ohm, em Farad, -
é a tensão aplicada (Volts).
Se o problema for outro (por exemplo circuito RC puro, ou sem fonte), o ODE muda; por isso preciso desse detalhe para obter uma solução única. Ainda assim, vou desenvolver a solução geral desta ODE porque é a forma que aparece com mais frequência e porque com isso você aprende a resolver na prova.
Passo 3
Vamos estudar primeiro a equação homogênea (caso
):
Dividindo por
e definindo parâmetros úteis:
onde
A equação característica é
com raízes
Há três regimes (expliquei cada um porque é importante reconhecer na prova):
- Sobreamortecido (
). Raízes reais distintas, solução
- Criticamente amortecido (
). Raiz dupla , solução
- Subamortecido (
). Raízes complexas; defina . Solução
As constantes
e
são determinadas pelas condições iniciais
e
. Vou aplicar isso já no próximo passo.
Passo 4
Aplique as condições iniciais ao caso homogêneo (
). Como o enunciado dá
e
, vamos ver o que isso impõe para
e
em cada regime — isto é uma técnica que você pode usar rapidamente na prova.
Tomemos o caso subamortecido (o raciocínio é análogo nos outros casos):
Em
:
Derivando,
Em
:
Como
e já temos
, segue
. Portanto
, logo
.
Nos outros regimes (sobreamortecido e criticamente amortecido) o mesmo cálculo dá
a partir de
. Conclusão importante e simples de decorar para provas:
Se
(sem fonte) e as condições iniciais são
, então a solução única é
Isso faz sentido físico: sem fonte e sem energia inicial, nada acontece.
Passo 5
Agora o caso mais geral e útil pra prova:
não nula (uma fonte qualquer). A solução geral da ODE não-homogênea é
onde
é a solução homogênea (já dada no Passo 3) e
é uma solução particular qualquer. Para as condições iniciais fornecidas, os coeficientes da parte homogênea serão escolhidos para satisfazê‑las. Em particular, se as condições iniciais forem nulas (
), isso normalmente faz com que a parte homogênea anule as contribuições iniciais e a resposta seja puramente a resposta forçada quando se toma uma solução particular escolhida compatível com as condições iniciais.
Forma prática (muito útil na prova): escreva a solução particular por convolução com a resposta ao impulso. Primeiro normalizamos a equação dividindo por
:
A resposta ao impulso (função de Green)
— a solução para a entrada
com condições iniciais nulas —, no regime subamortecido, é
Então, para condições iniciais nulas, a solução particular (resposta forçada) é a convolução
quando
. (Se o sistema estiver sobreamortecido ou criticamente amortecido, usa‑se a expressão adequada de
correspondente; a ideia da convolução é a mesma.)
A corrente é obtida por derivação:
onde, no caso subamortecido, diferenciando
dá uma forma explícita:
Portanto, com condições iniciais nulas e
,
Observações práticas para provas:
- Se
for uma senoide , você pode usar método dos coeficientes indeterminados ou a transformada de Fourier/phasor para achar uma solução particular fechada (resposta transitória + regime estacionário). - Se
a integral some e volta o caso homogêneo: com condições iniciais nulas, . - Se o problema especificar
(circuito LC), então e tem oscilação pura com ; com condições iniciais nulas novamente a solução é trivial zero sem fonte.
Passo 6
Resumo prático e “pronto para prova” — o que você pode responder rapidamente ao ver só as condições iniciais dadas:
- Se não houver fonte (
): pela unicidade da solução do problema de valor inicial,
- Se o circuito é um série RLC com parâmetros
e existe uma fonte , então a equação governante é
A solução para condições iniciais nulas é, no caso subamortecido (
),
(Adaptar
caso o sistema seja críticamente ou sobreamortecido.)
Resposta
Não é possível determinar
e
unicamente a partir de
e
sem conhecer a equação diferencial (ou seja, sem saber os parâmetros do circuito
e a fonte
).\n\nSe
então\n
\n\nPara um circuito série RLC geral (
) e condições iniciais nulas, no regime subamortecido (
) tem‑se\n