Supondo que inicialmente o capacitor esteja descarregado e que não haja corrente no circuito, isto é,
Q(0)=0, \quad Q^{\prime}(0)=0,
determine a carga Q(t) e a corrente I(t)=Q^{\prime}(t).

Passo 1

O enunciado fornece apenas as condições iniciais
Q(0)=0,\qquad Q'(0)=0,
e pede para determinar Q(t) e I(t)=Q'(t).
Informações relevantes que o enunciado deu:
  • A função incógnita é a carga Q(t).
  • As condições iniciais são Q(0)=0 e Q'(0)=0.
  • A corrente é definida por I(t)=Q'(t).
Informação que falta (necessária para uma solução única):
  • Não foi fornecida a equação diferencial que rege Q(t) (por exemplo, os parâmetros do circuito e a fonte elétrica). Sem a equação (ou sem os valores de L,R,C e a fonte V(t) num problema de circuito RLC) não é possível determinar uma solução numérica/única para Q(t) e I(t).

Passo 2

Vou agora escrever a equação diferencial padrão que aparece em muitos problemas de circuitos elétricos (série RLC), explicando cada termo — porque é praticamente sempre essa equação que o enunciado subentende quando fala de carga num capacitor com indutor e resistor.
Considere um circuito série com indutor de indutância L, resistor de resistência R, capacitor de capacitância C e uma fonte de tensão V(t). Aplicando a Lei das Malhas (KVL) e lembrando que a corrente I(t) é I(t)=Q'(t), obtém‑se:
L\,\frac{dI}{dt}+R\,I+\frac{Q}{C}=V(t).
Substituindo I=Q' e escrevendo em termos de Q dá a ODE clássica:
L\,Q''(t)+R\,Q'(t)+\frac{1}{C}\,Q(t)=V(t).
Aqui:
  • Q(t) é a carga no capacitor (Coulombs),
  • Q'(t)=I(t) é a corrente (Amperes),
  • L tem unidades de Henry, R em Ohm, C em Farad,
  • V(t) é a tensão aplicada (Volts).
Se o problema for outro (por exemplo circuito RC puro, ou sem fonte), o ODE muda; por isso preciso desse detalhe para obter uma solução única. Ainda assim, vou desenvolver a solução geral desta ODE porque é a forma que aparece com mais frequência e porque com isso você aprende a resolver na prova.

Passo 3

Vamos estudar primeiro a equação homogênea (caso V(t)\equiv 0):
L\,Q''+R\,Q'+\frac{1}{C}\,Q=0.
Dividindo por L e definindo parâmetros úteis:
Q''+2\alpha Q'+\omega_0^2 Q=0,
onde
\alpha=\frac{R}{2L},\qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
A equação característica é
r^2+2\alpha r+\omega_0^2=0,
com raízes
r=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}.
Há três regimes (expliquei cada um porque é importante reconhecer na prova):
  1. Sobreamortecido ( \alpha^2>\omega_0^2). Raízes reais r_1,r_2 distintas, solução
Q_h(t)=A e^{r_1 t}+B e^{r_2 t}.
  1. Criticamente amortecido ( \alpha^2=\omega_0^2). Raiz dupla r=-\alpha, solução
Q_h(t)=(A+Bt)e^{-\alpha t}.
  1. Subamortecido ( \alpha^2<\omega_0^2). Raízes complexas; defina \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}. Solução
Q_h(t)=e^{-\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr).
As constantes A e B são determinadas pelas condições iniciais Q(0) e Q'(0). Vou aplicar isso já no próximo passo.

Passo 4

Aplique as condições iniciais ao caso homogêneo ( V(t)=0). Como o enunciado dá Q(0)=0 e Q'(0)=0, vamos ver o que isso impõe para A e B em cada regime — isto é uma técnica que você pode usar rapidamente na prova.
Tomemos o caso subamortecido (o raciocínio é análogo nos outros casos):
Q_h(t)=e^{-\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr).
Em t=0:
Q(0)=A=0.
Derivando,
Q'(t)=e^{-\alpha t}\bigl(-\alpha(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t) - A\omega_d\sin\omega_d t + B\omega_d\cos\omega_d t\bigr).
Em t=0:
Q'(0)=-\alpha A + B\omega_d.
Como Q'(0)=0 e já temos A=0, segue B\omega_d=0\Rightarrow B=0. Portanto A=B=0, logo Q_h(t)\equiv 0.
Nos outros regimes (sobreamortecido e criticamente amortecido) o mesmo cálculo dá A=B=0 a partir de Q(0)=Q'(0)=0. Conclusão importante e simples de decorar para provas:
Se V(t)\equiv 0 (sem fonte) e as condições iniciais são Q(0)=0,\\ Q'(0)=0, então a solução única é
Q(t)\equiv 0,\qquad I(t)=Q'(t)\equiv 0\quad\text{para todo }t\ge0.
Isso faz sentido físico: sem fonte e sem energia inicial, nada acontece.

Passo 5

Agora o caso mais geral e útil pra prova: V(t) não nula (uma fonte qualquer). A solução geral da ODE não-homogênea é
Q(t)=Q_h(t)+Q_p(t),
onde Q_h é a solução homogênea (já dada no Passo 3) e Q_p é uma solução particular qualquer. Para as condições iniciais fornecidas, os coeficientes da parte homogênea serão escolhidos para satisfazê‑las. Em particular, se as condições iniciais forem nulas ( Q(0)=Q'(0)=0), isso normalmente faz com que a parte homogênea anule as contribuições iniciais e a resposta seja puramente a resposta forçada quando se toma uma solução particular escolhida compatível com as condições iniciais.
Forma prática (muito útil na prova): escreva a solução particular por convolução com a resposta ao impulso. Primeiro normalizamos a equação dividindo por L:
Q''+2\alpha Q'+\omega_0^2 Q=\frac{V(t)}{L}.
A resposta ao impulso (função de Green) g(t) — a solução para a entrada \delta(t) com condições iniciais nulas —, no regime subamortecido, é
g(t)=\frac{1}{L\omega_d}e^{-\alpha t}\sin(\omega_d t)\qquad(t\ge0).
Então, para condições iniciais nulas, a solução particular (resposta forçada) é a convolução
Q(t)=\int_{0}^{t} g(t-s)\,V(s)\,ds =\frac{1}{L\omega_d}\int_{0}^{t} e^{-\alpha (t-s)}\sin\bigl(\omega_d (t-s)\bigr)\,V(s)\,ds,
quando \alpha^2<\omega_0^2. (Se o sistema estiver sobreamortecido ou criticamente amortecido, usa‑se a expressão adequada de g(t) correspondente; a ideia da convolução é a mesma.)
A corrente é obtida por derivação:
I(t)=Q'(t)=\frac{d}{dt}\int_{0}^{t} g(t-s)\,V(s)\,ds =\int_{0}^{t} g'(t-s)\,V(s)\,ds,
onde, no caso subamortecido, diferenciando g dá uma forma explícita:
g'(t)=\frac{1}{L}e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t)-\frac{\alpha}{L\omega_d}e^{-\alpha t}\sin(\omega_d t).
Portanto, com condições iniciais nulas e \alpha^2<\omega_0^2,
I(t)=\frac{1}{L}\int_{0}^{t} e^{-\alpha (t-s)}\Bigl(\cos(\omega_d(t-s))-\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d(t-s))\Bigr)\,V(s)\,ds.
Observações práticas para provas:
  • Se V(t) for uma senoide V_0\cos(\omega t), você pode usar método dos coeficientes indeterminados ou a transformada de Fourier/phasor para achar uma solução particular fechada (resposta transitória + regime estacionário).
  • Se V(t)\equiv 0 a integral some e volta o caso homogêneo: com condições iniciais nulas, Q\equiv0,\\ I\equiv0.
  • Se o problema especificar R=0 (circuito LC), então \alpha=0 e tem oscilação pura com \omega_0=1/\sqrt{LC}; com condições iniciais nulas novamente a solução é trivial zero sem fonte.

Passo 6

Resumo prático e “pronto para prova” — o que você pode responder rapidamente ao ver só as condições iniciais dadas:
  • Se não houver fonte ( V(t)\equiv 0): pela unicidade da solução do problema de valor inicial,
Q(t)\equiv 0,\qquad I(t)\equiv 0.
  • Se o circuito é um série RLC com parâmetros L,R,C e existe uma fonte V(t), então a equação governante é
LQ''+RQ'+\frac{1}{C}Q=V(t).
A solução para condições iniciais nulas é, no caso subamortecido ( \alpha^2<\omega_0^2),
Q(t)=\frac{1}{L\omega_d}\int_{0}^{t} e^{-\alpha (t-s)}\sin\bigl(\omega_d (t-s)\bigr)\,V(s)\,ds,
I(t)=\frac{1}{L}\int_{0}^{t} e^{-\alpha (t-s)}\Bigl(\cos(\omega_d(t-s))-\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d(t-s))\Bigr)\,V(s)\,ds.
(Adaptar g(t) caso o sistema seja críticamente ou sobreamortecido.)

Resposta

Não é possível determinar Q(t) e I(t) unicamente a partir de Q(0)=0 e Q'(0)=0 sem conhecer a equação diferencial (ou seja, sem saber os parâmetros do circuito L,R,C e a fonte V(t)).\n\nSe V(t)\equiv 0 então\n Q(t)\equiv 0,\qquad I(t)\equiv 0.\n\nPara um circuito série RLC geral ( LQ''+RQ'+\tfrac{1}{C}Q=V(t)) e condições iniciais nulas, no regime subamortecido ( \alpha=\tfrac{R}{2L},\\ \omega_0=\tfrac{1}{\sqrt{LC}},\\ \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}) tem‑se\n Q(t)=\frac{1}{L\omega_d}\int_{0}^{t} e^{-\alpha (t-s)}\sin\bigl(\omega_d (t-s)\bigr)\,V(s)\,ds,
I(t)=\frac{1}{L}\int_{0}^{t} e^{-\alpha (t-s)}\Bigl(\cos(\omega_d(t-s))-\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d(t-s))\Bigr)\,V(s)\,ds.

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