Questão 9:
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
(a) y^{\prime \prime}+9 y=e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação dada é:
y'' + 9y = e^{3x}.
Informações relevantes:
  • É uma equação linear com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é \,e^{3x}.
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y'' + 9y = 0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituindo y=e^{rx} obtemos:
r^2 + 9 = 0.
As raízes são
r = \pm 3i.
Quando as raízes são complexas \alpha \pm i\beta (aqui \alpha=0,\\ \beta=3), a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Explicando: as soluções e^{(\alpha\pm i\beta)x} combinam-se em funções reais \cos(\beta x) e \sin(\beta x) quando \alpha=0.

Passo 3

Princípio do método dos coeficientes indeterminados (aula rapidinha):
  • Para RHS do tipo \,e^{ax} tenta-se uma solução particular da forma \,y_p = A e^{ax} (com A constante).
  • Para RHS trigonométrico \cos(bx) ou \sin(bx), tenta-se A\cos(bx)+B\sin(bx).
  • Para polinômios, tenta-se um polinômio de mesma ordem com coeficientes indeterminados.
  • Se a forma escolhida para y_p coincidir com uma solução da homogênea (ressonância), multiplica-se a tentativa por x^m, onde m é a multiplicidade de correspondência com as raízes da característica.
    No nosso caso a RHS é \,e^{3x}. Precisamos verificar se r=3 é raiz da característica para decidir se há ressonância.

Passo 4

Verificação de ressonância: as raízes da característica são \pm 3i, isto é, r=3 NÃO é raiz. Portanto não há ressonância e a tentativa padrão funciona. Fazemos a seguinte suposição para a solução particular:
y_p(x) = A e^{3x},
onde A é uma constante indeterminada que vamos determinar.

Passo 5

Calcular derivadas de y_p e substituir na equação:
y_p(x) = A e^{3x}, \qquad y_p'(x) = 3A e^{3x}, \qquad y_p''(x) = 9A e^{3x}.
Substituindo em \,y''+9y=e^{3x}:
y_p'' + 9y_p = 9A e^{3x} + 9A e^{3x} = 18A e^{3x}.
Essa expressão deve ser igual a \,e^{3x}. Assim,
18A e^{3x} = e^{3x} \quad\Longrightarrow\quad 18A = 1.
Portanto
A = \frac{1}{18}.

Passo 6

Escrever a solução geral somando homogênea e particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x) + \frac{1}{18}e^{3x}.
Pronto — essa é a solução geral da equação dada. Dá para verificar rapidamente derivando e substituindo, se quiser conferir.

Resposta

y(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x)+\frac{1}{18}e^{3x}

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