Questão 9:
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
(a)
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação dada é:
Informações relevantes:
- É uma equação linear com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
. - Objetivo: encontrar a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituindo
obtemos:
As raízes são
Quando as raízes são complexas
(aqui
), a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando: as soluções
combinam-se em funções reais
e
quando
.
Passo 3
Princípio do método dos coeficientes indeterminados (aula rapidinha):
- Para RHS do tipo
tenta-se uma solução particular da forma (com constante). - Para RHS trigonométrico
ou , tenta-se . - Para polinômios, tenta-se um polinômio de mesma ordem com coeficientes indeterminados.
- Se a forma escolhida para
coincidir com uma solução da homogênea (ressonância), multiplica-se a tentativa por , onde é a multiplicidade de correspondência com as raízes da característica.
No nosso caso a RHS é. Precisamos verificar se é raiz da característica para decidir se há ressonância.
Passo 4
Verificação de ressonância: as raízes da característica são
, isto é,
NÃO é raiz. Portanto não há ressonância e a tentativa padrão funciona. Fazemos a seguinte suposição para a solução particular:
onde
é uma constante indeterminada que vamos determinar.
Passo 5
Calcular derivadas de
e substituir na equação:
Substituindo em
:
Essa expressão deve ser igual a
. Assim,
Portanto
Passo 6
Escrever a solução geral somando homogênea e particular:
Pronto — essa é a solução geral da equação dada. Dá para verificar rapidamente derivando e substituindo, se quiser conferir.