Questão 5. Considere o movimento de uma partícula carregada em um campo magnético, descrito pela equação de Lorentz para a força sobre a partícula, onde \boldsymbol{E} é o vetor do campo elétrico, \boldsymbol{B} é o vetor do campo magnético, v é a velocidade da partícula, q é a carga, e m é a massa da partícula. A força sobre a partícula é dada por:
F=q E+q(\nu \times B)
onde v \ll c (velocidade da luz). Suponha que não exista campo elétrico e que a partícula entre no campo magnético de forma perpendicular às linhas de fluxo magnético. Mostre que a trajetória da partícula é um círculo com raio
\Gamma=\frac{m v}{q B}=\frac{v}{\omega_{k}} \text { onde } \omega_{c}=\frac{q B}{m}\left\{\begin{array}{l} \text { é a prequinction } \\\ \text { ao ciclot trapon. } \end{array}\right.é

Passo 1

O enunciado dá a equação da força de Lorentz e pede para mostrar que, na ausência de campo elétrico e com a velocidade da partícula perpendicular ao campo magnético, a trajetória é circular com raio \Gamma e que \Gamma pode ser escrita como \Gamma=\dfrac{m v}{q B}=\dfrac{v}{\omega_{c}}, onde \omega_{c}=\dfrac{q B}{m}.
Informações fornecidas e hipóteses (retiradas do enunciado):
  • A força é \;F=qE+q(v\times B).
  • Não existe campo elétrico: \;E=0.
  • A velocidade inicial é perpendicular às linhas de B: o ângulo entre v e B é 90^\circ.
  • A partícula tem carga \;q e massa \;m.
  • O módulo da velocidade é \;v (assume-se não-relativístico: v\ll c).
  • O objetivo pedido: mostrar que a trajetória é um círculo e obter a expressão para \Gamma e para \omega_{c}.

Passo 2

Simplificar a força com E=0 e entender a direção e módulo da força magnética.
Com E=0 temos
\mathbf{F}=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}).
Lembrete sobre produto vetorial (cross product): o vetor \mathbf{v}\times\mathbf{B} é perpendicular tanto a \mathbf{v} quanto a \mathbf{B}, e seu módulo é
\left|\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right|=vB\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{B}. Pelo enunciado \theta=90^\circ, logo \sin\theta=1 e
\left|\mathbf{F}\right|=q v B.
Portanto a força magnética tem módulo qvB e está sempre perpendicular à velocidade \mathbf{v}.

Passo 3

Mostrar que a força é sempre perpendicular à velocidade implica velocidade de módulo constante.
A variação da energia cinética é dada por
\frac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}m v^{2}\right)=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.
Como \mathbf{F}=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) é perpendicular a \mathbf{v}, tem-se \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0. Logo
\frac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}m v^{2}\right)=0,
o que significa que v=|\mathbf{v}| é constante no tempo. Conclusão importante: a força não altera o módulo da velocidade, apenas sua direção.

Passo 4

Relacionar a força magnética com a força centrípeta necessária para movimento circular uniforme.
Para um movimento circular uniforme de raio r e velocidade tangencial de módulo v, a aceleração centrípeta tem módulo
a_{\text{c}}=\frac{v^{2}}{r},
e a força centrípeta necessária tem módulo
F_{\text{c}}=m a_{\text{c}}=\frac{m v^{2}}{r}.
No problema, a única força perpendicular à velocidade é a força magnética, cujo módulo calculamos como q v B. Para que a trajetória seja circular uniforme, essa força magnética deve fornecer exatamente a força centrípeta:
q v B = \frac{m v^{2}}{r}.
Isolando r obtemos
r=\frac{m v^{2}}{q v B}=\frac{m v}{q B}.
Portanto o raio da curva é
\Gamma=\frac{m v}{q B}.
Observação: essa conta usou apenas módulos (valores positivos). O sinal da carga q determina o sentido da rotação (sentido horário ou anti-horário), mas o raio é dado pelo valor absoluto acima (se quiser, r=\dfrac{m v}{|q| B} para o valor numérico do raio).

Passo 5

Definir a frequência angular (frequência ciclotrônica) e mostrar \Gamma=v/\omega_{c}.
A velocidade angular (taxa de variação do ângulo no movimento circular) é \omega=v/r. Substituindo r=\dfrac{m v}{q B} obtém-se
\omega=\frac{v}{r}=\frac{v}{\dfrac{m v}{q B}}=\frac{q B}{m}.
Define-se a frequência ciclotrônica
\omega_{c}=\frac{q B}{m}.
Reescrevendo o raio em função de \omega_{c} tem-se
\Gamma=\frac{m v}{q B}=\frac{v}{\omega_{c}}.
Comentário físico: \omega_{c} é a frequência angular com que a velocidade gira; o período da órbita é T=2\pi/\omega_{c}. O sinal de \omega_{c} (positivo ou negativo) indica sentido da rotação dependente do sinal de q.

Passo 6

(Complemento rigoroso por componentes: equações de movimento e solução paramétrica mostrando a circularidade)
Escolha um sistema de coordenadas com \mathbf{B}=(0,0,B). Escrevendo \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) a equação m\dot{\mathbf{v}}=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) dá, para as componentes,
m\dot{v}_x = q B v_y,\qquad m\dot{v}_y = -q B v_x,\qquad m\dot{v}_z=0.
Diferenciando a primeira equação e substituindo a segunda obtém-se
m\ddot{v}_x = q B \dot{v}_y = q B\left(-\frac{q B}{m}v_x\right) = -\left(\frac{q B}{m}\right)^{2} m v_x,
ou seja
\ddot{v}_x + \omega_{c}^{2} v_x = 0,
com \omega_{c}=\dfrac{q B}{m}. A mesma equação vale para v_y. As soluções são harmônicas (seno e cosseno), o que implica que (v_x(t),v_y(t)) descreve uma rotação uniforme com frequência \omega_{c}. Integrando em t obtém-se (x(t),y(t)) que descrevem um círculo de raio v/\omega_{c}=\Gamma. Isso confirma de forma rigorosa que a trajetória é circular com o raio dado anteriormente.

Resposta

\Gamma=\dfrac{m v}{q B}=\dfrac{v}{\omega_{c}}
\omega_{c}=\dfrac{q B}{m}

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