Questão 5. Considere o movimento de uma partícula carregada em um campo magnético, descrito pela equação de Lorentz para a força sobre a partícula, onde
é o vetor do campo elétrico,
é o vetor do campo magnético,
é a velocidade da partícula,
é a carga, e
é a massa da partícula. A força sobre a partícula é dada por:
onde
(velocidade da luz). Suponha que não exista campo elétrico e que a partícula entre no campo magnético de forma perpendicular às linhas de fluxo magnético. Mostre que a trajetória da partícula é um círculo com raio
Passo 1
O enunciado dá a equação da força de Lorentz e pede para mostrar que, na ausência de campo elétrico e com a velocidade da partícula perpendicular ao campo magnético, a trajetória é circular com raio
e que
pode ser escrita como
, onde
.
Informações fornecidas e hipóteses (retiradas do enunciado):
- A força é
. - Não existe campo elétrico:
. - A velocidade inicial é perpendicular às linhas de
: o ângulo entre e é . - A partícula tem carga
e massa . - O módulo da velocidade é
(assume-se não-relativístico: ). - O objetivo pedido: mostrar que a trajetória é um círculo e obter a expressão para
e para .
Passo 2
Simplificar a força com
e entender a direção e módulo da força magnética.
Com
temos
Lembrete sobre produto vetorial (cross product): o vetor
é perpendicular tanto a
quanto a
, e seu módulo é
onde
é o ângulo entre
e
. Pelo enunciado
, logo
e
Portanto a força magnética tem módulo
e está sempre perpendicular à velocidade
.
Passo 3
Mostrar que a força é sempre perpendicular à velocidade implica velocidade de módulo constante.
A variação da energia cinética é dada por
Como
é perpendicular a
, tem-se
. Logo
o que significa que
é constante no tempo. Conclusão importante: a força não altera o módulo da velocidade, apenas sua direção.
Passo 4
Relacionar a força magnética com a força centrípeta necessária para movimento circular uniforme.
Para um movimento circular uniforme de raio
e velocidade tangencial de módulo
, a aceleração centrípeta tem módulo
e a força centrípeta necessária tem módulo
No problema, a única força perpendicular à velocidade é a força magnética, cujo módulo calculamos como
. Para que a trajetória seja circular uniforme, essa força magnética deve fornecer exatamente a força centrípeta:
Isolando
obtemos
Portanto o raio da curva é
Observação: essa conta usou apenas módulos (valores positivos). O sinal da carga
determina o sentido da rotação (sentido horário ou anti-horário), mas o raio é dado pelo valor absoluto acima (se quiser,
para o valor numérico do raio).
Passo 5
Definir a frequência angular (frequência ciclotrônica) e mostrar
.
A velocidade angular (taxa de variação do ângulo no movimento circular) é
. Substituindo
obtém-se
Define-se a frequência ciclotrônica
Reescrevendo o raio em função de
tem-se
Comentário físico:
é a frequência angular com que a velocidade gira; o período da órbita é
. O sinal de
(positivo ou negativo) indica sentido da rotação dependente do sinal de
.
Passo 6
(Complemento rigoroso por componentes: equações de movimento e solução paramétrica mostrando a circularidade)
Escolha um sistema de coordenadas com
. Escrevendo
a equação
dá, para as componentes,
Diferenciando a primeira equação e substituindo a segunda obtém-se
ou seja
com
. A mesma equação vale para
. As soluções são harmônicas (seno e cosseno), o que implica que
descreve uma rotação uniforme com frequência
. Integrando em
obtém-se
que descrevem um círculo de raio
. Isso confirma de forma rigorosa que a trajetória é circular com o raio dado anteriormente.