Questão 3. Dadas as três matrizes abaixo,
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 4 & 3 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right)
determine os seguintes resultados:
a) |A B|
b) A C
c) A B C
d) A B-A^{t} B^{t}

Passo 1

O enunciado pede quatro resultados envolvendo as matrizes dadas. Vou listar exatamente o que é pedido e os dados que temos (peguei as entradas das matrizes do enunciado):
  • Matrizes fornecidas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 3 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 3 \end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] 4 & 3\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) calcular |A B| (determinante do produto AB);
    (b) calcular A C (produto matricial de A por C);
    (c) calcular A B C (produto matricial das três matrizes, na ordem dada);
    (d) calcular A B - A^{t} B^{t} (diferença entre AB e o produto das transpostas).
A partir daqui vou resolver passo a passo, explicando a teoria necessária para cada operação e mostrando contas detalhadas para que dê pra reproduzir na prova.]

Passo 2

(a) — teoria e cálculo de determinantes: regra útil e cálculo de \det(A).
  • Lembrete teórico: para matrizes quadradas 3\times3, uma propriedade muito prática é
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Portanto, para obter |AB| basta calcular |A| e |B| e multiplicar. Vou achar |A| e |B| explicitamente.
  • Como calcular \det(A) (cofator pela primeira linha). Para uma matriz
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
a expansão pela primeira linha é
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e M_{ij} é o determinante do menor obtido suprimindo a linha i e coluna j.
  • Aplicando em A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 0 & 3 & 1\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Calcule os menores:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1-1\cdot0=3,
M_{12}=\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot2=-2,
M_{13}=\det\begin{pmatrix}0 & 3\\[2pt]2 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-3\cdot2=-6.
Agora os cofatores:
C_{11}=+M_{11}=3,\qquad C_{12}=-M_{12}= -(-2)=2,\qquad C_{13}=+M_{13}=-6.
Finalmente
\det(A)=1\cdot3 + 2\cdot2 + (-1)\cdot(-6)=3+4+6=13.]

Passo 3

(a) continuação — cálculo de \det(B) e conclusão de |AB|.
  • Calcular \det(B) pela primeira linha também:
B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 2\\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Menores pela primeira linha:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}=(-1)\cdot3 - 2\cdot1=-3-2=-5,
M_{12}=\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[2pt]1 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3-2\cdot1=-2,
M_{13}=\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-(-1)\cdot1=1,
mas como a_{13}=0 o terceiro termo não contribui. Usando sinais:
\det(B)=2\cdot M_{11} - 1\cdot M_{12} + 0\cdot M_{13}=2\cdot(-5) - 1\cdot(-2) +0 = -10 +2 = -8.
  • Agora aplicar a propriedade:
|AB| = |A||B| = 13\cdot(-8) = -104.]

Passo 4

(b) — produto matricial A C: teoria e método prático.
  • Lembrete teórico do produto: se A é m\times n e C é n\times p, então AC é m\times p e a entrada (i,j) de AC é
(AC)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}C_{kj},
ou seja, produto escalar da linha i de A pela coluna j de C.
  • Aqui A é 3\times3 e C é 3\times2, então AC será 3\times2. Reescrevo linhas de A e colunas de C para calcular com calma:
    linhas de A:
\text{linha}_1(A)=(1,2,-1),\quad \text{linha}_2(A)=(0,3,1),\quad \text{linha}_3(A)=(2,0,1).
colunas de C (peguei as entradas de C do enunciado):
\text{coluna}_1\text{(C)}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]4\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad \text{coluna}_2\text{(C)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Calcule cada entrada:
(AC)_{11}=1\cdot2 + 2\cdot4 + (-1)\cdot1 = 2+8-1=9,
(AC)_{12}=1\cdot1 + 2\cdot3 + (-1)\cdot0 = 1+6+0=7,
(AC)_{21}=0\cdot2 + 3\cdot4 + 1\cdot1 = 0+12+1=13,
(AC)_{22}=0\cdot1 + 3\cdot3 + 1\cdot0 = 0+9+0=9,
(AC)_{31}=2\cdot2 + 0\cdot4 + 1\cdot1 = 4+0+1=5,
(AC)_{32}=2\cdot1 + 0\cdot3 + 1\cdot0 = 2+0+0=2.
  • Assim
AC=\begin{pmatrix} 9 & 7\\[4pt] 13 & 9\\[4pt] 5 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

(c) — calcular AB (passo intermediário para ABC).
  • De novo uso a regra do produto: (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}B_{kj}. Vou calcular AB como matriz 3\times3.
Colunas de B (para uso):
\text{col}_1(B)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad \text{col}_2(B)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad \text{col}_3(B)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix}.
Linhas de A já anotadas. Calcule entradas de AB:
Linha 1 de A (1,2,-1):
(AB)_{11}=1\cdot2 + 2\cdot0 + (-1)\cdot1 = 2+0-1=1,
(AB)_{12}=1\cdot1 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot1 = 1-2-1=-2,
(AB)_{13}=1\cdot0 + 2\cdot2 + (-1)\cdot3 = 0+4-3=1.
Linha 2 de A (0,3,1):
(AB)_{21}=0\cdot2 + 3\cdot0 + 1\cdot1 = 1,
(AB)_{22}=0\cdot1 + 3\cdot(-1) + 1\cdot1 = -3+1=-2,
(AB)_{23}=0\cdot0 + 3\cdot2 + 1\cdot3 = 6+3=9.
Linha 3 de A (2,0,1):
(AB)_{31}=2\cdot2 + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 4+0+1=5,
(AB)_{32}=2\cdot1 + 0\cdot(-1) + 1\cdot1 = 2+0+1=3,
(AB)_{33}=2\cdot0 + 0\cdot2 + 1\cdot3 = 0+0+3=3.
  • Logo
AB=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\[4pt] 1 & -2 & 9\\[4pt] 5 & 3 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 6

(c) — calcular ABC usando AB obtido.
  • Agora multiplico AB ( 3\times3) por C ( 3\times2). Uso novamente (ABC)_{ij}= linha i de AB \cdot coluna j de C.
Linhas de AB:
\text{linha}_1(AB)=(1,-2,1),\quad \text{linha}_2(AB)=(1,-2,9),\quad \text{linha}_3(AB)=(5,3,3).
Colunas de C já anotadas:
\text{col}_1\text{(C)}=\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2\text{(C)}=\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}.
Calcule entradas:
Linha 1:
(ABC)_{11}=1\cdot2 + (-2)\cdot4 + 1\cdot1 = 2-8+1 = -5,
(ABC)_{12}=1\cdot1 + (-2)\cdot3 + 1\cdot0 = 1-6+0 = -5.
Linha 2:
(ABC)_{21}=1\cdot2 + (-2)\cdot4 + 9\cdot1 = 2-8+9 = 3,
(ABC)_{22}=1\cdot1 + (-2)\cdot3 + 9\cdot0 = 1-6+0 = -5.
Linha 3:
(ABC)_{31}=5\cdot2 + 3\cdot4 + 3\cdot1 = 10+12+3 = 25,
(ABC)_{32}=5\cdot1 + 3\cdot3 + 3\cdot0 = 5+9+0 = 14.
  • Assim
ABC=\begin{pmatrix} -5 & -5\\[4pt] 3 & -5\\[4pt] 25 & 14 \end{pmatrix}.]

Passo 7

(d) — teoria sobre transposta e cálculo de A^{t} e B^{t}.
  • Definição: a transposta M^{t} de uma matriz M tem entradas (M^{t})_{ij}=M_{ji}. Ou seja, linhas viram colunas.
  • Transpondo as matrizes dadas:
A^{t}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad B^{t}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 8

(d) — calcular A^{t}B^{t} (produto) com método do produto de matrizes.
  • Multiplico A^{t} ( 3\times3) por B^{t} ( 3\times3). Reaplico a regra (A^{t}B^{t})_{ij}=\sum_{k} (A^{t})_{ik}(B^{t})_{kj}.
Calcule todas as entradas (faço linha a linha):
Linha 1 de A^{t} (1,0,2):
(A^{t}B^{t})_{11}=1\cdot2 + 0\cdot1 + 2\cdot0 = 2,
(A^{t}B^{t})_{12}=1\cdot0 + 0\cdot(-1) + 2\cdot2 = 4,
(A^{t}B^{t})_{13}=1\cdot1 + 0\cdot1 + 2\cdot3 = 1+6=7.
Linha 2 de A^{t} (2,3,0):
(A^{t}B^{t})_{21}=2\cdot2 + 3\cdot1 + 0\cdot0 = 4+3=7,
(A^{t}B^{t})_{22}=2\cdot0 + 3\cdot(-1) + 0\cdot2 = -3,
(A^{t}B^{t})_{23}=2\cdot1 + 3\cdot1 + 0\cdot3 = 2+3=5.
Linha 3 de A^{t} (-1,1,1):
(A^{t}B^{t})_{31}=(-1)\cdot2 + 1\cdot1 + 1\cdot0 = -2+1=-1,
(A^{t}B^{t})_{32}=(-1)\cdot0 + 1\cdot(-1) + 1\cdot2 = -1+2=1,
(A^{t}B^{t})_{33}=(-1)\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot3 = -1+1+3=3.
  • Portanto
A^{t}B^{t}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 7\\[4pt] 7 & -3 & 5\\[4pt] -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 9

(d) — calcular a diferença AB - A^{t}B^{t}.
  • Já temos
AB=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\[4pt] 1 & -2 & 9\\[4pt] 5 & 3 & 3 \end{pmatrix}, \qquad A^{t}B^{t}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 7\\[4pt] 7 & -3 & 5\\[4pt] -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
  • Subtraio termo a termo:
AB-A^{t}B^{t}= \begin{pmatrix} 1-2 & -2-4 & 1-7\\[4pt] 1-7 & -2-(-3) & 9-5\\[4pt] 5-(-1) & 3-1 & 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -6 & -6\\[4pt] -6 & 1 & 4\\[4pt] 6 & 2 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

|AB| = -104
AC=\begin{pmatrix}9 & 7\\[4pt]13 & 9\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix}
ABC=\begin{pmatrix}-5 & -5\\[4pt]3 & -5\\[4pt]25 & 14\end{pmatrix}
AB-A^{t}B^{t}=\begin{pmatrix}-1 & -6 & -6\\[4pt]-6 & 1 & 4\\[4pt]6 & 2 & 0\end{pmatrix}]

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