I - O tubo sem costura mostrado é fabricado em aço A-36 (propriedades abaixo), possui seção transversal circular com diâmetro interno de 50 mm e espessura da parede de 2 mm . Considere, obrigatoriamente, que este tubo esteja sujeito:
i. a uma força de tração de 2 kN aplicada pelo cabo de aço no centroide da seção do tubo;
ii. a uma pressão interna de 10 Mpa ;
iii. a um momento externo \vec{M}=5 \vec{\imath}+5 \vec{\jmath}+5 \vec{k} \quad [kN.m] aplicado no centroide da seção do tubo.
Se uma roseta formada por 3 (três) extensômetros elétricos de resistência for colocada no ponto B como mostrado, determine:
  1. o tensor de tensões (3 \times 3) em B;
  2. as tensões e direções principais no ponto B;
  3. as medidas das deformações observadas por cada extensômetro da roseta em B;
  4. a deformação de cisalhamento máxima absoluta no ponto B;
  5. a tensão de Von Misses em B;
    \mathrm{a}=1,0 \mathrm{~m}
    \mathrm{b}=1,0 \mathrm{~m}
    c=1,5 \mathrm{~m}
d=2,0 m
\mathrm{e}=0,5 \mathrm{~m}
Aço A-36:
\mathrm{G}=75 \mathrm{GPa}
\mathrm{E}=200 \mathrm{GPa}
Peso específico =
7850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
coeficiente de Poisson = 0,3

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (isto é extra importante porque o enunciado refere-se a uma figura — mas a figura não foi enviada).
Dados do enunciado:
  • Tubo sem costura em aço A‑36 com:
    • diâmetro interno 50\\ \text{mm} (logo r_i=25\\ \text{mm}=0,025\\ \text{m});
    • espessura t=2\\ \text{mm}=0,002\\ \text{m} (logo r_o=r_i+t=0,027\\ \text{m});
  • Forças e carregamentos aplicados (todos referidos ao centroide da seção):
    • força de tração axial N=2\\ \text{kN}=2000\\ \text{N};
    • pressão interna p=10\\ \text{MPa}=10\times10^{6}\\ \text{Pa};
    • momento externo \vec{M}=5\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+5\vec{k} [kN·m] = (5000,5000,5000)\\ \text{N·m}.
  • Geometrias auxiliares (fornecidas):
    • a=1{,}0\\ \text{m}, b=1{,}0\\ \text{m}, c=1{,}5\\ \text{m}, d=2{,}0\\ \text{m}, e=0{,}5\\ \text{m} (o enunciado forneceu estes números, mas a figura que indica o que eles representam não foi enviada).
  • Propriedades do aço A‑36:
    • E=200\\ \text{GPa},
    • G=75\\ \text{GPa},
    • \nu=0{,}3,
    • densidade =7850\\ \text{kg/m}^3 (não parece necessária diretamente para tensões estáticas aqui).
O enunciado pede, no ponto B (uma roseta de 3 extensômetros colocada em B):
  1. Tensor de tensões 3\times3 em B;
  2. Tensões principais e direções em B;
  3. Deformações medidas por cada extensômetro da roseta em B;
  4. Deformação de cisalhamento máxima absoluta em B;
  5. Tensão de Von Mises em B.
Observação crítica (informação ausente e necessária):
  • O enunciado diz “no ponto B como mostrado” e fala em “roseta formada por 3 extensômetros … como mostrado”. A figura que dá:
    • a posição angular do ponto B na circunferência (ângulo \theta_B),
    • a orientação dos eixos coordenados locais (qual eixo é o eixo longitudinal do tubo: \vec{\imath}, \vec{\jmath} ou \vec{k}?),
    • a orientação angular dos braços da roseta (por ex. 0°, 45°, 90° relativos ao eixo longitudinal),
    • e a relação entre os componentes do momento \vec M e o eixo longitudinal,
      não foi enviada.
Sem essa figura (ou sem a indicação explícita do ângulo de B e da orientação da roseta e dos eixos), NÃO É POSSÍVEL fornecer os valores numéricos finais pedidos (tensor numérico em B, tensões principais numéricas, leituras dos extensômetros, etc.), porque:
  • as tensões de flexão dependem da posição angular de B (coordenadas y,z do ponto na seção);
  • a transformação de tensões para as direções dos extensômetros exige os ângulos exatos dos sensores em relação ao eixo axial/local;
  • não está claro qual componente de \vec M atua como torque/torsão em torno do eixo do tubo (isto depende de qual vetor é o eixo longitudinal).
Vou então, a partir daqui, apresentar passo a passo o procedimento completo, com todas as fórmulas e com os cálculos de propriedades da seção e das contribuições de esforço que são independentes da posição angular (essas eu consigo calcular). Também detalharei como montar o tensor e como obter as respostas numéricas assim que for fornecida (ou definida) a posição angular de B e a orientação da roseta. Isto vai te permitir reproduzir os cálculos na prova (ou em casa) se a figura indicar os ângulos. Se preferir, posso depois recalcular tudo numericamente se você enviar a figura ou me disser o ângulo de B e as orientações da roseta (não vou perguntar — apenas explicito que sem isso não posso obter os valores finais).

Passo 2

Cálculo das propriedades geométricas da seção (valores numéricos que NÃO dependem da posição angular de B) — aqui eu mostro as contas passo a passo.
Raio interno:
r_i=0{,}025\\ \text{m}.
Raio externo:
r_o= r_i+t = 0{,}025+0{,}002=0{,}027\\ \text{m}.
raio médio (linha média):
r_m=\frac{r_i+r_o}{2}=0{,}026\\ \text{m}.
Área da parede (área da seção transversal do material):
Usando exatamente
A=\pi\left(r_o^2-r_i^2\right).
Cálculo:
r_o^2=0{,}027^2=0{,}000729\\ \text{m}^2,\qquad r_i^2=0{,}025^2=0{,}000625\\ \text{m}^2,
A=\pi(0{,}000729-0{,}000625)=\pi(0{,}000104)=0{,}0003267\\ \text{m}^2\quad(\text{aprox.}).
(Verificação fina: aproximação de parede fina A\approx 2\pi r_m t = 2\pi\cdot0{,}026\cdot0{,}002 dá o mesmo valor numericamente.)
Momento de inércia de segunda ordem (para flexão) em relação ao eixo centroidal (qualquer eixo diametral em seção circular o mesmo valor):
Fórmula exata (círculo oco):
I=\frac{\pi}{4}\left(r_o^4-r_i^4\right).
Cálculo:
r_o^4=0{,}027^4=(0{,}027^2)^2=0{,}000729^2=5{,}316\times10^{-7},
r_i^4=0{,}025^4=(0{,}025^2)^2=0{,}000625^2=3{,}90625\times10^{-7},
r_o^4-r_i^4=1{,}40975\times10^{-7},
I=\frac{\pi}{4}\cdot1{,}40975\times10^{-7}\approx1{,}106\times10^{-7}\\ \text{m}^4.
(Para parede fina, a aproximação I\approx\pi r_m^3 t também fornece o mesmo resultado numérico.)
Momento polar (para torção):
J=\frac{\pi}{2}\left(r_o^4-r_i^4\right)=2I\approx2{,}212\times10^{-7}\\ \text{m}^4.
Estes valores ( A, I, J, r_m) serão usados nas fórmulas abaixo.

Passo 3

Cálculo das contribuições de tensão que são uniformes ou bem definidas independentemente da posição angular (estas você já pode anotar e usar na prova sem requerer a figura):
  1. Tensão normal axial devido à tração N:
\sigma_N=\frac{N}{A}=\frac{2000}{0{,}0003267}\\ \text{Pa}\approx6{,}12\times10^{6}\\ \text{Pa}=6{,}12\\ \text{MPa} \quad\text{(tração)}.çã
Isto é uniforme pela parede (pressupõe-se comportamento de viga/haste — distribuição mais refinada é negligenciável em seção fina).
  1. Tensões produzidas pela pressão interna p:
  • Tensão circunferencial (hoop) aproximada pela fórmula de casca fina:
\sigma_\theta=\frac{p\,r_m}{t}.
Cálculo:
\sigma_\theta=\frac{10\times10^{6}\cdot0{,}026}{0{,}002}=10\times10^{6}\cdot13=130\times10^{6}\\ \text{Pa}=130\\ \text{MPa}.
  • Tensão longitudinal (axial) devido à pressão (para casca cilíndrica fina):
\sigma_{p,x}=\frac{p\,r_m}{2t}.
Cálculo:
\sigma_{p,x}=\frac{10\times10^{6}\cdot0{,}026}{2\cdot0{,}002}=65\times10^{6}\\ \text{Pa}=65\\ \text{MPa}.
Obs.: a tensão axial total sem flexão seria a soma da devida a N e a devida à pressão:
\sigma_{x,\text{base}}=\sigma_N+\sigma_{p,x}=6{,}12\\ \text{MPa}+65\\ \text{MPa}=71{,}12\\ \text{MPa}.
  1. Torção — contribuição de cisalhamento devido ao momento componente que gera torção:
  • Para seção circular fina, a tensão de cisalhamento tangencial (entre eixo axial x e direção circunferencial \theta) devido a um torque T (momento em torno do eixo longitudinal) vale
\tau_{x\theta}=\frac{T}{2\pi r_m^2 t}.
(Equivalente a usar \tau=\dfrac{T r_m}{J} com J acima.)
Comentário: para usar esta fórmula numericamente é necessário saber qual componente de \vec M é o torque em torno do eixo longitudinal do tubo (isto depende de qual eixo do sistema de referência é o eixo do tubo). Sem a figura não posso afirmar se M_x, M_y ou M_z é o torque.
  1. Flexão — contribuição de tensão axial que varia ao redor da circunferência:
  • Se o eixo longitudinal do tubo for, por exemplo, x (convencional em muitos problemas), então as componentes de momento (M_y,M_z) produzem tensão axial em um ponto de coordenadas na seção y,z dada por (sinal dependendo da convenção):
\sigma_{\text{bend}}(y,z)= -\frac{M_y\,z}{I} + \frac{M_z\,y}{I}.
Para um ponto na circunferência descrito pelo ângulo \theta medido a partir do eixo y (ou conforme a convenção que a figura define), as coordenadas da superfície média são y=r_m\cos\theta, z=r_m\sin\theta. Substituindo:
\sigma_{\text{bend}}(\theta)=\frac{r_m}{I}\left(-M_y\sin\theta+M_z\cos\theta\right).
Isto mostra que a contribuição de flexão para a tensão axial depende explicitamente do ângulo \theta do ponto B.
Resumo: a tensão axial total no ponto de ângulo \theta (tratando a parede como elemento fino e desprezando tensões radiais) será
\sigma_x(\theta)=\underbrace{\sigma_N+\sigma_{p,x}}_{\text{uniforme}}+\underbrace{\sigma_{\text{bend}}(\theta)}_{\text{varia com }\theta}.
A tensão circunferencial (hoop) é aproximadamente \sigma_\theta= p r_m/t (constante ao longo da circunferência). O cisalhamento \tau_{x\theta} devido à torção (se houver) é aproximadamente constante em módulo na espessura e tangencial na superfície, com sinal dependente da direção do torque.

Passo 4

Como montar o tensor de tensões em B (forma geral e explicação didática passo a passo). Vou adotar a base natural do elemento da casca fina:
  • eixo x: eixo longitudinal do tubo (eixo axial),
  • eixo \theta: direção tangencial (circunferencial) na superfície,
  • eixo r: direção radial (normal à parede).
Observação: se na figura os eixos forem diferentes, basta trocar rótulos e reescrever as coordenadas; a metodologia é a mesma.
No ponto de superfície (casca fina, pressão interna), a tensão radial é pequena comparada às outras e, na aproximação de casca fina, tomamos \sigma_r\approx0 na superfície externa do material. Assim, o tensor de tensões em coordenadas locais (x,\theta,r) tem a forma (matriz simétrica):
\boldsymbol{\sigma}(\theta)= \begin{pmatrix} \sigma_x(\theta) & \tau_{x\theta}(\theta) & 0\\[6pt] \tau_{x\theta}(\theta) & \sigma_\theta & 0\\[6pt] 0 & 0 & \sigma_r\approx0 \end{pmatrix}.
Onde:
  • \sigma_x(\theta)=\sigma_N+\sigma_{p,x}+\sigma_{\text{bend}}(\theta) (veja passo 3);
  • \sigma_\theta=p r_m/t;
  • \tau_{x\theta} é a componente de cisalhamento axial–tangencial (torção), sua fórmula é \tau_{x\theta}=T/(2\pi r_m^2 t) se houver um torque T equivalente à componente do momento em torno do eixo axial do tubo.
  • \sigma_r é muito pequeno (radial), e na aproximação de casca fina externa pode ser tomada como zero; se fosse necessário um valor mais preciso para \sigma_r seria preciso análise tridimensional e dados da ligação parede/fluido.
Transformações e tensões principais (procedimento):
  • Este é um problema de “tensão plana” (plane stress) em x- \theta: \sigma_r\approx0. As tensões principais na superfície (do plano x- \theta) são obtidas usando as fórmulas clássicas:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_\theta}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_\theta}{2}\right)^2+\tau_{x\theta}^2}.
A terceira tensão principal é \sigma_3=\sigma_r\approx0.
  • Direções principais: o ângulo \phi_p da rotação a partir do eixo x que dá a direção da tensão principal \sigma_1 satisfaz
\tan 2\phi_p=\frac{2\tau_{x\theta}}{\sigma_x-\sigma_\theta}.
(Novamente: para obter o valor numérico de \phi_p é preciso conhecer \sigma_x(\theta) e \tau_{x\theta}, e \sigma_x(\theta) requer o ângulo \theta do ponto B.)
Cálculo da tensão de Von Mises (para estado de tensão plana — fórmula conveniente):
\sigma_{VM}=\sqrt{\sigma_x^2-\sigma_x\sigma_\theta+\sigma_\theta^2+3\tau_{x\theta}^2}.
Isto dá a tensão equivalente de Von Mises que costuma ser usada para verificar escoamento.]

Passo 5

Como calcular as deformações (leituras dos extensômetros) na roseta de 3 elementos e a deformação de cisalhamento máxima: apresentação didática das fórmulas que o professor pode pedir na prova.
Modelo: trata‑se de campo elástico linear e de plane stress. As deformações de engenharia no ponto, no sistema local x- \theta (onde x é axial e \theta é tangencial), são dadas por Lei de Hooke para plane stress:
  • deformação axial:
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\left(\sigma_x-\nu\,\sigma_\theta\right).
  • deformação tangencial (circunferencial):
\varepsilon_\theta=\frac{1}{E}\left(\sigma_\theta-\nu\,\sigma_x\right).
  • deformação de cisalhamento engineering (dupla):
\gamma_{x\theta}=\frac{\tau_{x\theta}}{G}.
Leitura de um extensômetro orientado a um ângulo \alpha medido a partir do eixo x (no plano x- \theta):
A fórmula de transformação de deformações dá a deformação normal medida numa direção \alpha:
\varepsilon_\alpha=\varepsilon_x\cos^2\alpha+\varepsilon_\theta\sin^2\alpha+\frac{\gamma_{x\theta}}{2}\sin 2\alpha.
Portanto, conhecendo \varepsilon_x,\varepsilon_\theta,\gamma_{x\theta} e os ângulos dos três extensômetros da roseta, calcula‑se cada leitura com a fórmula acima.
Deformação de cisalhamento máxima absoluta no ponto B:
  • No campo de deformação, o máximo valor da deformação de cisalhamento de engenharia (em módulo) no plano é
\gamma_{\max}=\sqrt{(\varepsilon_x-\varepsilon_\theta)^2+\gamma_{x\theta}^2}.
(Isto é a versão para deformações da geometria de Mohr; dá a amplitude da maior deformação cortante no plano.)
Relação com as tensões principais e deformações principais:
  • As deformações principais \varepsilon_{1,2} obtêm‑se aplicando lei de Hooke às tensões principais \sigma_{1,2}:
\varepsilon_i=\frac{1}{E}\left(\sigma_i-\nu\,\sigma_j\right),\qquad i\neq j,\\ i,j\in\{1,2\},
e a máxima deformação de cisalhamento será \gamma_{\max}=|\varepsilon_1-\varepsilon_2| (engineering shear), consistente com a fórmula anterior.

Passo 6

Resumo das fórmulas práticas que você deve aplicar (passo a passo na prova) para obter os cinco itens pedidos assim que souber:
  1. Determine os parâmetros da seção: r_m, A, I, J (Passo 2).
  2. Calcule contribuições:
    • \sigma_N=N/A,
    • \sigma_{p,x}=p r_m/(2t),
    • \sigma_\theta=p r_m/t,
    • \sigma_{\text{bend}}(\theta)=\dfrac{r_m}{I}(-M_y\sin\theta+M_z\cos\theta) (se eixo axial for x e (M_y,M_z) são momentos de flexão),
    • \tau_{x\theta}=\dfrac{T}{2\pi r_m^2 t} onde T é o componente do momento em torno do eixo axial do tubo.
  3. Monte o tensor em (x,\theta,r) conforme a matriz do Passo 4.
  4. Calcule as tensões principais usando a fórmula do Passo 4 e as direções com \tan2\phi_p.
  5. Calcule as deformações locais via Hooke (Passo 5) e as leituras da roseta com a fórmula de transformação de deformações.
  6. Calcule \gamma_{\max} e \sigma_{VM} com as fórmulas dadas.

Passo 7

Exemplo numérico parcial (apenas para ilustrar o uso das fórmulas): calculando os valores que não dependem da posição angular nem de qual componente do momento é torção.
  • Já calculei:
    • A\approx0{,}0003267\\ \text{m}^2,
    • I\approx1{,}106\times10^{-7}\\ \text{m}^4,
    • J\approx2{,}212\times10^{-7}\\ \text{m}^4,
    • \sigma_N\approx6{,}12\\ \text{MPa},
    • \sigma_{p,x}\approx65\\ \text{MPa},
    • \sigma_\theta\approx130\\ \text{MPa},
    • termo base axial uniforme \sigma_{x,\text{base}}=\sigma_N+\sigma_{p,x}\approx71{,}12\\ \text{MPa}.
  • Observação: as contribuições máximas de flexão e de torção dependem de M_y,M_z (para flexão) e do componente de \vec M que é torque (para torção). O vetor \vec M=(5000,5000,5000)\\ \text{N·m} contém componentes numéricas, mas sem saber qual eixo é o eixo axial do tubo (e qual é a posição angular \theta do ponto B) não se consegue combinar corretamente essas componentes para obter \sigma_{\text{bend}}(\theta) nem \tau_{x\theta} numericamente no ponto B.

Passo 8

O que falta para eu dar os resultados numéricos finais (e por que cada item é necessário):
  • ângulo \theta_B que localiza o ponto B na circunferência (necessário para avaliar \sigma_{\text{bend}}(\theta_B));
  • definição de qual eixo do sistema (\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}) é o eixo longitudinal do tubo (isto define qual componente de \vec M causa torção T e quais são M_y,M_z para flexão);
  • orientação angular dos três extensômetros na roseta (por ex. 0°, 45°, 90° em relação a x ou outra configuração) — necessário para calcular as leituras individuais \varepsilon_\alpha;
  • confirmação de sinais/ convenção (se houver alguma convenção do enunciado para sinais de momento ou para direção positiva de ângulos).
Sem esses dados a solução numérica final (tensor numérico, tensões principais numéricas, leituras de cada extensômetro, valor numérico de \gamma_{\max}, valor numérico de \sigma_{VM}) não pode ser determinada univocamente.

Resposta

Não é possível fornecer os valores numéricos finais pedidos (tensor de tensões em B, tensões e direções principais em B, leituras dos 3 extensômetros, deformação de cisalhamento máxima absoluta e tensão de Von Mises em B) porque a figura que determina a posição angular do ponto B, a orientação da roseta e a referência do eixo longitudinal (qual componente de \vec M é torque e quais são momentos de flexão) não foi enviada. Forneça a posição angular de B e a orientação dos extensômetros (ou envie a figura) e eu calculo imediatamente todos os valores numéricos usando as fórmulas e passos detalhados acima.

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