Questão 5: Considere o movimento vertical de uma partícula com resistência quadrática:
\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{dt}}=\mathrm{g}-\mathrm{k} v^{2}, \quad \mathrm{v}(0)=0, \quad \mathrm{~g}=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \quad \mathrm{k}=0.1
Use o método de Euler com h=0.2 para calcular a velocidade nos instantes t=0.2,0.4.

Passo 1

O enunciado fornece o problema e pede valores específicos. Vou listar com clareza o que foi dado e o que é pedido (tudo pegado do enunciado):
  • Equação diferencial ordinária:
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g - k v^{2}
  • Condição inicial:
v(0)=0
  • Constantes (fornecidas):
g=9,8\quad\text{(m/s}^{2}\text{)},\qquad k=0,1
  • Método solicitado: método de Euler explícito com passo
h=0,2\quad\text{(s)}
  • O que pedir: calcular a velocidade nos instantes
t=0,2\quad\text{e}\quad t=0,4.

Passo 2

Explicando o método de Euler (passo-a-passo, para você poder reproduzir na prova).
  • Ideia: aproximar a solução da ODE por um valor em cada nó usando a inclinação dada pela derivada naquele nó. Se chamarmos os tempos por t_{n} e as aproximações por v_{n}, o método de Euler explícito usa a fórmula:
v_{n+1}=v_{n}+h\,f(t_{n},v_{n}),
onde f(t,v) é o lado direito da ODE, ou seja aqui
f(t,v)=g-kv^{2}.
  • O que cada símbolo significa:
    • v_{n} é a aproximação de v(t_{n}).
    • h é o passo de tempo (aqui h=0,2).
    • f(t_{n},v_{n}) é a derivada \mathrm{d}v/\mathrm{d}t avaliada em (t_{n},v_{n}); no nosso caso depende só de v_{n} porque a RHS não tem dependência explícita de t.
  • Procedimento prático: partir de v_{0}=v(0). Para cada passo:
    1. calcular f(t_{n},v_{n})=g-kv_{n}^{2},
    2. aplicar v_{n+1}=v_{n}+h\,f(t_{n},v_{n}).
  • Vamos aplicar isso para os dois passos necessários: de t_{0}=0 para t_{1}=0,2 e de t_{1}=0,2 para t_{2}=0,4.

Passo 3

Passo de t_{0}=0 para t_{1}=0,2.
  • Temos v_{0}=0.
  • Calcular f(t_{0},v_{0}):
f(t_{0},v_{0})=g-kv_{0}^{2}=9,8-0,1\cdot 0^{2}=9,8\quad\text{(m/s}^{2}\text{)}.
  • Aplicar a fórmula de Euler:
v_{1}=v_{0}+h\,f(t_{0},v_{0})=0+0,2\cdot 9,8.
  • Fazer a multiplicação (sem calculadora: 9,8\times 0,2 = 9,8\times \dfrac{2}{10}= \dfrac{19,6}{10}=1,96):
v_{1}=1,96\quad\text{m/s}.

Passo 4

Passo de t_{1}=0,2 para t_{2}=0,4.
  • Primeiro calcular v_{1}^{2}:
v_{1}^{2} = 1,96^{2} = 1,96\times 1,96 = 3,8416.
  • Calcular f(t_{1},v_{1}):
f(t_{1},v_{1})=g-kv_{1}^{2}=9,8-0,1\cdot 3,8416.
  • Calcular 0,1\cdot 3,8416 = 0,38416. Então
f(t_{1},v_{1}) = 9,8 - 0,38416 = 9,41584\quad\text{(m/s}^{2}\text{)}.
  • Aplicar a fórmula de Euler:
v_{2}=v_{1}+h\,f(t_{1},v_{1}) = 1,96 + 0,2\cdot 9,41584.
  • Calcular 0,2\cdot 9,41584 = 1,883168. Então
v_{2} = 1,96 + 1,883168 = 3,843168\quad\text{m/s}.

Passo 5

Observações finais rápidas para a prova:
  • Os valores obtidos são aproximações pelo método de Euler explícito (método de primeira ordem). Em geral o método subestima ou superestima dependendo do comportamento da solução e do tamanho do passo; se precisar de mais precisão reduza h ou use um método de ordem maior (por exemplo Runge–Kutta).
  • Se for solicitado arredondar, normalmente três casas decimais são suficientes: v(0,2)\approx 1,960\\ \mathrm{m/s} e v(0,4)\approx 3,843\\ \mathrm{m/s}. Aqui mantive mais casas no cálculo intermediário para transparência.

Resposta

v(0,2)=1,96\\ \mathrm{m/s}
v(0,4)=3,843168\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados