Questão 5: Considere o movimento vertical de uma partícula com resistência quadrática:
Use o método de Euler com
para calcular a velocidade nos instantes
.
Passo 1
O enunciado fornece o problema e pede valores específicos. Vou listar com clareza o que foi dado e o que é pedido (tudo pegado do enunciado):
- Equação diferencial ordinária:
- Condição inicial:
- Constantes (fornecidas):
- Método solicitado: método de Euler explícito com passo
- O que pedir: calcular a velocidade nos instantes
Passo 2
Explicando o método de Euler (passo-a-passo, para você poder reproduzir na prova).
- Ideia: aproximar a solução da ODE por um valor em cada nó usando a inclinação dada pela derivada naquele nó. Se chamarmos os tempos por
e as aproximações por , o método de Euler explícito usa a fórmula:
onde
é o lado direito da ODE, ou seja aqui
- O que cada símbolo significa:
-
é a aproximação de . -
é o passo de tempo (aqui ). -
é a derivada avaliada em ; no nosso caso depende só de porque a RHS não tem dependência explícita de .
-
- Procedimento prático: partir de
. Para cada passo: - calcular
, - aplicar
.
- calcular
- Vamos aplicar isso para os dois passos necessários: de
para e de para .
Passo 3
Passo de
para
.
- Temos
. - Calcular
:
- Aplicar a fórmula de Euler:
- Fazer a multiplicação (sem calculadora:
):
Passo 4
Passo de
para
.
- Primeiro calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
. Então
- Aplicar a fórmula de Euler:
- Calcular
. Então
Passo 5
Observações finais rápidas para a prova:
- Os valores obtidos são aproximações pelo método de Euler explícito (método de primeira ordem). Em geral o método subestima ou superestima dependendo do comportamento da solução e do tamanho do passo; se precisar de mais precisão reduza
ou use um método de ordem maior (por exemplo Runge–Kutta). - Se for solicitado arredondar, normalmente três casas decimais são suficientes:
e . Aqui mantive mais casas no cálculo intermediário para transparência.