Questão 4: Resolva numericamente até
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver numericamente a equação diferencial ordinária até
com passo
. As informações fornecidas são:
- Equação:
. - Condição inicial:
. - Passo (passo de integração):
. - Intervalo desejado: de
até .
O objetivo numérico implícito é obter aproximações de
nos pontos
(ou seja, 10 passos com
).
Passo 2
Escolha do método e justificativa.
O enunciado não exige um método específico. Pelo algoritmo que combinamos, devo escolher um método básico (o mais simples que seja praticável em prova sem calculadora avançada). Vou usar o método de Euler explícito porque:
- É o método numérico mais elementar para equações do tipo
; - É adequado quando se quer uma resolução rápida e didática passo a passo;
- Permite ver claramente a construção das aproximações em cada passo.
Breve explicação do método de Euler explícito (o que vou usar): supondo que tenhamos uma equação diferencial
e uma aproximação
em
, o método de Euler dá a aproximação em
por
Aqui:
-
é o tamanho do passo (aqui ); -
é o tempo do passo (com ); -
é a aproximação numérica de ; -
é a função do lado direito da EDO (neste problema , que não depende explicitamente de ).
Observações rápidas (úteis na prova):
- A ordem global do método de Euler explícito é 1 (erro global
), ou seja, o erro tende a zero proporcionalmente a quando . - Para este problema particular
é contínua e razoavelmente comportada para , então Euler funciona sem problemas de definição enquanto as aproximações permaneçam positivas.
Passo 3
Preparação para calcular: número de passos.
O intervalo é de
até
com passo
. O número de passos é
Vamos calcular iterativamente
para
, começando com
.
Vou mostrar cada passo com as contas intermédias (cada raiz quadrada e o incremento
), arredondando os valores apresentados para 6 casas decimais — isso é suficiente para uma prova e mantém os cálculos legíveis.
Passo 4
Cálculos passo a passo pelo método de Euler explícito.
Passo
(inicial):
Passo
:
Passo
:
Passo
:
Passo
:
Passo
:
Passo
:
Passo
:
Passo
:
Passo
:
(Arredondei cada
mostrado para 6 casas decimais; os cálculos intermédios das raízes foram feitos com precisão suficiente para manter coerência nos resultados.)
Passo 5
Verificação rápida com a solução exata (aula relâmpago de teoria útil).
É interessante comparar com a solução exata para entender o erro. A EDO é separável:
Integrando ambos os lados:
Usando
temos
, logo
. Assim
Em particular,
Comparando com a aproximação de Euler
, o erro aproximado em
é
Isso está de acordo com a ordem 1 do método (erro global proporcional a
).