Questão 4: Resolva numericamente até \mathrm{t}=1 :
y^{\prime}=y^{\frac{1}{2}}, \quad y(0)=1, \quad h=0.1

Passo 1

O enunciado pede para resolver numericamente a equação diferencial ordinária até t=1 com passo h=0,1. As informações fornecidas são:
  • Equação: \displaystyle y' = y^{\tfrac{1}{2}}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • Passo (passo de integração): h=0,1.
  • Intervalo desejado: de t=0 até t=1.
O objetivo numérico implícito é obter aproximações de y(t) nos pontos t_n = 0,0{,}1,0{,}2,\dots,1{,}0 (ou seja, 10 passos com h=0{,}1).

Passo 2

Escolha do método e justificativa.
O enunciado não exige um método específico. Pelo algoritmo que combinamos, devo escolher um método básico (o mais simples que seja praticável em prova sem calculadora avançada). Vou usar o método de Euler explícito porque:
  • É o método numérico mais elementar para equações do tipo y'=f(t,y);
  • É adequado quando se quer uma resolução rápida e didática passo a passo;
  • Permite ver claramente a construção das aproximações em cada passo.
Breve explicação do método de Euler explícito (o que vou usar): supondo que tenhamos uma equação diferencial \displaystyle y' = f(t,y) e uma aproximação y_n em t_n, o método de Euler dá a aproximação em t_{n+1}=t_n+h por
y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n,y_n).
Aqui:
  • h é o tamanho do passo (aqui h=0{,}1);
  • t_n é o tempo do passo n (com t_0=0);
  • y_n é a aproximação numérica de y(t_n);
  • f(t,y) é a função do lado direito da EDO (neste problema f(t,y)=y^{1/2}, que não depende explicitamente de t).
Observações rápidas (úteis na prova):
  • A ordem global do método de Euler explícito é 1 (erro global O(h)), ou seja, o erro tende a zero proporcionalmente a h quando h\to0.
  • Para este problema particular f(t,y)=\sqrt{y} é contínua e razoavelmente comportada para y>0, então Euler funciona sem problemas de definição enquanto as aproximações permaneçam positivas.

Passo 3

Preparação para calcular: número de passos.
O intervalo é de t=0 até t=1 com passo h=0{,}1. O número de passos é
N = \frac{1-0}{0{,}1} = 10.
Vamos calcular iterativamente y_{n+1} = y_n + 0{,}1\sqrt{y_n} para n=0,1,\dots,9, começando com y_0=1.
Vou mostrar cada passo com as contas intermédias (cada raiz quadrada e o incremento 0{,}1\sqrt{y_n}), arredondando os valores apresentados para 6 casas decimais — isso é suficiente para uma prova e mantém os cálculos legíveis.

Passo 4

Cálculos passo a passo pelo método de Euler explícito.
Passo n=0 (inicial):
y_0 = 1{,}000000,\qquad \sqrt{y_0}=1{,}000000,
y_1 = y_0 + 0{,}1\sqrt{y_0} = 1{,}000000 + 0{,}1\cdot 1{,}000000 = 1{,}100000.
Passo n=1:
y_1 = 1{,}100000,\qquad \sqrt{y_1}\approx 1{,}048809,
y_2 = 1{,}100000 + 0{,}1\cdot 1{,}048809 \approx 1{,}204881.
Passo n=2:
y_2 \approx 1{,}204881,\qquad \sqrt{y_2}\approx 1{,}098127,
y_3 \approx 1{,}204881 + 0{,}1\cdot 1{,}098127 \approx 1{,}314694.
Passo n=3:
y_3 \approx 1{,}314694,\qquad \sqrt{y_3}\approx 1{,}146753,
y_4 \approx 1{,}314694 + 0{,}1\cdot 1{,}146753 \approx 1{,}429369.
Passo n=4:
y_4 \approx 1{,}429369,\qquad \sqrt{y_4}\approx 1{,}195582,
y_5 \approx 1{,}429369 + 0{,}1\cdot 1{,}195582 \approx 1{,}548927.
Passo n=5:
y_5 \approx 1{,}548927,\qquad \sqrt{y_5}\approx 1{,}244627,
y_6 \approx 1{,}548927 + 0{,}1\cdot 1{,}244627 \approx 1{,}673390.
Passo n=6:
y_6 \approx 1{,}673390,\qquad \sqrt{y_6}\approx 1{,}293654,
y_7 \approx 1{,}673390 + 0{,}1\cdot 1{,}293654 \approx 1{,}802755.
Passo n=7:
y_7 \approx 1{,}802755,\qquad \sqrt{y_7}\approx 1{,}342703,
y_8 \approx 1{,}802755 + 0{,}1\cdot 1{,}342703 \approx 1{,}937025.
Passo n=8:
y_8 \approx 1{,}937025,\qquad \sqrt{y_8}\approx 1{,}391527,
y_9 \approx 1{,}937025 + 0{,}1\cdot 1{,}391527 \approx 2{,}076178.
Passo n=9:
y_9 \approx 2{,}076178,\qquad \sqrt{y_9}\approx 1{,}440766,
y_{10} \approx 2{,}076178 + 0{,}1\cdot 1{,}440766 \approx 2{,}220255.
(Arredondei cada y_n mostrado para 6 casas decimais; os cálculos intermédios das raízes foram feitos com precisão suficiente para manter coerência nos resultados.)

Passo 5

Verificação rápida com a solução exata (aula relâmpago de teoria útil).
É interessante comparar com a solução exata para entender o erro. A EDO é separável:
\frac{dy}{dt} = y^{1/2}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{y^{1/2}} = dt.
Integrando ambos os lados:
2y^{1/2} = t + C.
Usando y(0)=1 temos 2\cdot 1 = 0 + C, logo C=2. Assim
y^{1/2} = \frac{t+2}{2}\quad\Rightarrow\quad y(t) = \left(\frac{t+2}{2}\right)^2 = \frac{(t+2)^2}{4}.
Em particular,
y(1) = \frac{(1+2)^2}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25.
Comparando com a aproximação de Euler y_{10}\approx 2{,}220255, o erro aproximado em t=1 é
\text{erro} \approx 2{,}25 - 2{,}220255 \approx 0{,}029745.
Isso está de acordo com a ordem 1 do método (erro global proporcional a h).

Resposta

t=0{,}0:\\ y=1{,}000000
t=0{,}1:\\ y\approx 1{,}100000
t=0{,}2:\\ y\approx 1{,}204881
t=0{,}3:\\ y\approx 1{,}314694
t=0{,}4:\\ y\approx 1{,}429369
t=0{,}5:\\ y\approx 1{,}548927
t=0{,}6:\\ y\approx 1{,}673390
t=0{,}7:\\ y\approx 1{,}802755
t=0{,}8:\\ y\approx 1{,}937025
t=0{,}9:\\ y\approx 2{,}076178
t=1{,}0:\\ y\approx 2{,}220255

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