Questão 3: A equação diferencial que descreve o arrefecimento de um corpo é:
\frac{d T}{d t}=-k(T-T a), \quad T(0)=90 \circ C, \quad T a=20 \circ C, \quad k=0.2
Use o método de Euler com \mathrm{h}=0.5 para estimar \mathrm{T}(2).

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos. O enunciado fornece:
  • A equação diferencial inicial \dfrac{dT}{dt}=-k(T-T_a).
  • Condição inicial T(0)=90^\circ C.
  • Temperatura do ambiente T_a=20^\circ C.
  • Constante k=0,2.
  • Deve-se usar o método de Euler com passo h=0,5 para estimar T(2).
Ou seja: queremos aproximar o valor da solução da EDO no tempo t=2 partindo de t=0 com passo h=0,5, usando a regra explícita de Euler.

Passo 2

Explicando o método de Euler (passo-a-passo, didático e sem pulo de etapas).
A EDO geral é \dfrac{dT}{dt}=f(t,T). O método explícito de Euler aproxima a derivada por uma diferença avançada:
\left.\dfrac{dT}{dt}\right|_{t_n}\approx \frac{T_{n+1}-T_n}{h},
onde h é o passo e T_n aproxima T(t_n) com t_n=t_0+n h. Rearranjando, obtemos a fórmula iterativa:
T_{n+1}=T_n+h\,f(t_n,T_n).
Isto significa: a nova temperatura é a antiga mais o passo vezes a inclinação naquele ponto. É simples e rápido de aplicar na prova.

Passo 3

Aplicando à nossa EDO: aqui f(t,T)=-k(T-T_a). Substituindo os valores conhecidos k=0,2 e T_a=20^\circ C, obtemos a função de inclinação dependente só de T:
f(T)=-0,2\,(T-20).
Observação: essa função não depende explicitamente de t, só de T, o que facilita.

Passo 4

Preparar os dados para a iteração:
  • Passo h=0,5.
  • Ponto inicial t_0=0 com T_0=90^\circ C.
  • Queremos T(2). O número de passos é
n=\frac{2-0}{0,5}=4.
Então vamos calcular T_1,T_2,T_3,T_4 seguindo a fórmula de Euler. Os tempos correspondentes são t_1=0,5, t_2=1,0, t_3=1,5, t_4=2,0.

Passo 5

Cálculo do primeiro passo (de t_0=0 para t_1=0,5):
Avaliar a inclinação em T_0=90^\circ C:
f(T_0)=-0,2\,(90-20)=-0,2\cdot70=-14.
Aplicar Euler:
T_1=T_0+h\,f(T_0)=90+0,5\cdot(-14)=90-7=83.
Portanto T_1=83^\circ C no instante t_1=0,5.

Passo 6

Segundo passo (de t_1=0,5 para t_2=1,0):
Avaliar a inclinação em T_1=83^\circ C:
f(T_1)=-0,2\,(83-20)=-0,2\cdot63=-12,6.
Aplicar Euler:
T_2=T_1+h\,f(T_1)=83+0,5\cdot(-12,6)=83-6,3=76,7.
Portanto T_2=76,7^\circ C no instante t_2=1,0.

Passo 7

Terceiro passo (de t_2=1,0 para t_3=1,5):
Avaliar a inclinação em T_2=76,7^\circ C:
f(T_2)=-0,2\,(76,7-20)=-0,2\cdot56,7=-11,34.
Aplicar Euler:
T_3=T_2+h\,f(T_2)=76,7+0,5\cdot(-11,34)=76,7-5,67=71,03.
Portanto T_3=71,03^\circ C no instante t_3=1,5.

Passo 8

Quarto passo (de t_3=1,5 para t_4=2,0):
Avaliar a inclinação em T_3=71,03^\circ C:
f(T_3)=-0,2\,(71,03-20)=-0,2\cdot51,03=-10,206.
Aplicar Euler:
T_4=T_3+h\,f(T_3)=71,03+0,5\cdot(-10,206)=71,03-5,103=65,927.
Assim obtemos a aproximação no instante t_4=2,0: T_4\approx65,927^\circ C.

Passo 9

Comentário final rápido e incentivo: a aproximação com Euler é direta e dá aqui T(2)\approx65,927^\circ C. Na prova, escreva cada passo como acima (calcule a inclinação, multiplique por h, some para obter o próximo ponto). Se quiser maior precisão, usar passos menores ou métodos de ordem mais alta (por exemplo Runge–Kutta) melhora o resultado, mas para uma questão de prova o Euler com h=0,5 é suficiente e rápido. Vai dar tudo certo — bora praticar mais uns exercícios assim!

Resposta

T(2)\approx65,927^\circ C

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