Questão 7: Um tensor \boldsymbol{T} tem a matriz [\boldsymbol{T}] dada abaixo:
[\boldsymbol{T}]=\left[\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 0 \\\\ 4 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right], \quad[\boldsymbol{S}]=\left[\begin{array}{ccc} 7 & 2 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right]
(a) Escreva a equação característica e determine os valores principais (autovalores) e suas correspondentes direções principais (autovetores).
(b) Encontre os invariantes escalares principais.
(c) Se \boldsymbol{n}_{1}, \boldsymbol{n}_{2}, \boldsymbol{n}_{3} são as direções principais, escreva [\boldsymbol{T}]_{\boldsymbol{n}_{i}} para i=1,2,3.
(d) A matriz [\boldsymbol{S}] poderia representar o mesmo tensor \boldsymbol{T} em relação a alguma base?

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes (componentes de um tensor)
[\boldsymbol{T}]=\begin{pmatrix}5 & 4 & 0 \\[4pt] 4 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 3\end{pmatrix},\qquad [\boldsymbol{S}]=\begin{pmatrix}7 & 2 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -1\end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Escrever a equação característica de [\boldsymbol{T}] e determinar os valores principais (autovalores) e as correspondentes direções principais (autovetores).
(b) Encontrar os invariantes escalares principais (ou seja, as invariantes de \boldsymbol{T}).
(c) Se \boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\boldsymbol{n}_{3} são as direções principais, escrever [\boldsymbol{T}]_{\boldsymbol{n}_{i}} para i=1,2,3.
(d) Verificar se [\boldsymbol{S}] poderia representar o mesmo tensor \boldsymbol{T} em relação a alguma base.]

Passo 2

Conceito e método para (a): para achar autovalores \lambda resolvemos a equação característica
\det\big([\boldsymbol{T}]-\lambda I\big)=0,
onde I é a matriz identidade. Como [\boldsymbol{T}] é em bloco (os elementos na terceira linha e coluna estão separados), podemos aproveitar essa estrutura: o bloco superior esquerdo é a matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}5 & 4\\[4pt]4 & -1\end{pmatrix}
e o elemento (3,3) é 3. A determinante de [\boldsymbol{T}]-\lambda I fatoriza como o produto da determinante do bloco A-\lambda I_{2} pelo termo (3-\lambda). Portanto a equação característica de [\boldsymbol{T}] é
\det\big(A-\lambda I_{2}\big)\,(3-\lambda)=0.
Agora calculo \det\big(A-\lambda I_{2}\big). Escrevo
A-\lambda I_{2}=\begin{pmatrix}5-\lambda & 4\\[4pt]4 & -1-\lambda\end{pmatrix}
e
\det\big(A-\lambda I_{2}\big)=(5-\lambda)(-1-\lambda)-4\cdot4.
Faço a expansão passo a passo:
(5-\lambda)(-1-\lambda)=\lambda^{2}-4\lambda-5,
então
\det\big(A-\lambda I_{2}\big)=\lambda^{2}-4\lambda-5-16=\lambda^{2}-4\lambda-21.
Portanto a equação característica completa é
\big(\lambda^{2}-4\lambda-21\big)\,(3-\lambda)=0.]

Passo 3

Resolvendo a equação característica para obter os autovalores:
Primeiro resolvo \lambda^{2}-4\lambda-21=0. Uso a fórmula quadrática ou fatoração. Observando que -21 = 7\cdot(-3) e que 7+(-3)=4, a fatoração é direta:
\lambda^{2}-4\lambda-21=(\lambda-7)(\lambda+3).
Logo as raízes são \lambda=7 e \lambda=-3. O outro fator dá \lambda=3. Assim os três autovalores são
\lambda_{1}=7,\qquad \lambda_{2}=-3,\qquad \lambda_{3}=3.
Agora encontro os autovetores (direções principais) resolvendo ([\boldsymbol{T}]-\lambda I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0} para cada \lambda.
Para \lambda_{1}=7: uso o bloco A-7I_{2}:
A-7I_{2}=\begin{pmatrix}5-7 & 4\\[4pt]4 & -1-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 4\\[4pt]4 & -8\end{pmatrix}.
A equação (A-7I_{2})\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix} reduz, por exemplo, à linha -2x+4y=0, ou seja x=2y. Posso escolher y=1 e obter um autovetor não nulo
\boldsymbol{v}_{1}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
(Observação: o terceiro componente é 0 porque o terceiro eixo está desacoplado.)
Para \lambda_{2}=-3: uso A-(-3)I_{2}=A+3I_{2}:
A+3I_{2}=\begin{pmatrix}8 & 4\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}.
A equação 8x+4y=0 2x+y=0, isto é y=-2x. Tomando x=1 obtemos
\boldsymbol{v}_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para \lambda_{3}=3: como o elemento (3,3) é 3 e as entradas fora da diagonal na terceira linha e coluna são zero, a equação para componentes (x,y,z) impõe x=y=0 e nada restringe z além de ser livre. Escolho z=1, obtendo
\boldsymbol{v}_{3}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Breve verificação: para matrizes simétricas reais, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. Verifico rapidamente \boldsymbol{v}_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{2}=2\cdot1+1\cdot(-2)+0\cdot0=0, e ambos são ortogonais a \boldsymbol{v}_{3}. Tudo consistente.
(Opcional: se quiser vetores unitários, basta normalizar cada \boldsymbol{v}_{i}, por exemplo \|\boldsymbol{v}_{1}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}, etc.)]

Passo 4

Para (b) — invariantes escalares principais — apresento as definições e cálculo. Para um tensor (matriz) 3\times3 as três invariantes principais usuais são:
I_{1}=\operatorname{tr}([\boldsymbol{T}])=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3},
I_{2}=\text{soma dos menores principais de ordem 2}=\lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{1}\lambda_{3}+\lambda_{2}\lambda_{3},
I_{3}=\det([\boldsymbol{T}])=\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}.
Como já encontrei os autovalores \lambda_{1}=7,\\ \lambda_{2}=-3,\\ \lambda_{3}=3, calculo:
Primeiro,
I_{1}=7+(-3)+3=7.
Segundo,
I_{2}=7\cdot(-3)+7\cdot3+(-3)\cdot3=-21+21-9=-9.
Terceiro,
I_{3}=7\cdot(-3)\cdot3=-63.
Posso checar que I_{1},I_{2},I_{3} coincidem com os coeficientes (até sinal) do polinômio característico \det([\boldsymbol{T}]-\lambda I)= -\lambda^{3}+I_{1}\lambda^{2}-I_{2}\lambda+I_{3} (dependendo da convenção), o que confirma consistência.

Passo 5

Para (c) — representação de [\boldsymbol{T}] nas direções principais — explico: se escolhemos a base ortonormal formada pelos vetores unitários ao longo das direções principais \boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\boldsymbol{n}_{3} (obtidos normalizando \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}_{3}), a matriz de \boldsymbol{T} nessa base é diagonal, com as componentes principais (autovalores) na diagonal. Assim, tomando a ordem \boldsymbol{n}_{1}\leftrightarrow\lambda_{1}=7,\\ \boldsymbol{n}_{2}\leftrightarrow\lambda_{2}=-3,\\ \boldsymbol{n}_{3}\leftrightarrow\lambda_{3}=3, a matriz de \boldsymbol{T} na base \{\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\boldsymbol{n}_{3}\} é
[\boldsymbol{T}]_{\{\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\boldsymbol{n}_{3}\}}=\begin{pmatrix}7 & 0 & 0\\[4pt]0 & -3 & 0\\[4pt]0 & 0 & 3\end{pmatrix}.
Se a pergunta queria os valores de [\boldsymbol{T}]_{\boldsymbol{n}_{i}} ao longo de cada direção, então esses valores principais (os elementos diagonais) são 7, -3 e 3 nas direções \boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\boldsymbol{n}_{3}, respectivamente.]

Passo 6

Para (d) — decidir se [\boldsymbol{S}] pode representar o mesmo tensor \boldsymbol{T} em outra base — uso um princípio importante: duas matrizes representam o mesmo operador linear (tensor) em bases diferentes se, e somente se, elas são similares, isto é, têm o mesmo polinômio característico (mesmos autovalores contados com multiplicidade). Logo basta comparar os autovalores de [\boldsymbol{S}] com os de [\boldsymbol{T}].
Calculo a equação característica de [\boldsymbol{S}]. Novamente é bloco 2\times2 mais um elemento (3,3)=-1. Para o bloco B=\begin{pmatrix}7 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} tenho
\det(B-\lambda I_{2})=(7-\lambda)(1-\lambda)-2\cdot2=\lambda^{2}-8\lambda+3.
Logo a equação característica de [\boldsymbol{S}] é
\big(\lambda^{2}-8\lambda+3\big)(-1-\lambda)=0.
As raízes do quadrático são
\lambda=\frac{8\pm\sqrt{64-12}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{52}}{2}=4\pm\sqrt{13},
ou seja aproximadamente \lambda\approx 7{,}6055 e \lambda\approx 0{,}3945. O terceiro autovalor é \lambda=-1 (do elemento (3,3)). Portanto o conjunto de autovalores de [\boldsymbol{S}] é \{\,4\pm\sqrt{13},\\\ -1\,\}, que numericamente não coincide com \{7,-3,3\}.
Conclusão: como os autovalores diferem, [\boldsymbol{S}] não pode representar o mesmo tensor \boldsymbol{T} em qualquer base (mudança de base preserva autovalores). Portanto a resposta é negativa.]

Resposta

(a) Equação característica de [\boldsymbol{T}]:
\big(\lambda^{2}-4\lambda-21\big)(3-\lambda)=0,
autovalores \lambda_{1}=7,\\ \lambda_{2}=-3,\\ \lambda_{3}=3. Autovetores correspondentes (não normalizados):
\boldsymbol{v}_{1}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}\\ (\lambda=7),\qquad \boldsymbol{v}_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix}\\ (\lambda=-3),\qquad \boldsymbol{v}_{3}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\\ (\lambda=3).
(b) Invariantes escalares principais:
I_{1}=7,\qquad I_{2}=-9,\qquad I_{3}=-63.
(c) Na base formada pelas direções principais \{\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\boldsymbol{n}_{3}\} (vetores unitários ao longo dos \boldsymbol{v}_{i}) a matriz é diagonal:
[\boldsymbol{T}]_{\{\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\boldsymbol{n}_{3}\}}=\begin{pmatrix}7 & 0 & 0\\[4pt]0 & -3 & 0\\[4pt]0 & 0 & 3\end{pmatrix},
ou seja os valores principais em \boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\boldsymbol{n}_{3} são 7,\\\ -3,\\\ 3, respectivamente.
(d) Não. [\boldsymbol{S}] tem autovalores 4\pm\sqrt{13} e -1, que não coincidem com \{7,-3,3\}; portanto [\boldsymbol{S}] não pode representar o mesmo tensor \boldsymbol{T} em nenhuma base.]

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