QUESTÃO 1: Considere um par de sinais senoidais com uma frequência angular comum é definida por
a) Especifique a condição que o período
de ambos
e
devem satisfazer para que eles sejam periódicos.
b) Expresse o sinal composto
na forma
.
c) Plote por meio do software Octave os três sinais:
.
b) Expresse o sinal composto
c) Plote por meio do software Octave os três sinais:
Passo 1
O enunciado dá dois sinais discretos senoidais
e pede: (a) condição de periodicidade comum; (b) escrever
como
(c) plotar os três sinais no Octave. Para resolver, usamos a teoria de sinais discretos: periodicidade surge se a frequência angular dividir
racionalmente, e soma de cossenos/senos iguais em frequência vira um único cosseno com fase e amplitude resultantes.
Passo 2
Um sinal
ou
é periódico se existir inteiro
tal que
Logo, para
e
terem um período comum
deve valer
Dessas equações seguem
Para
inteiro basta escolher
,
, o que dá
Passo 3
Primeiro simplificamos cada sinal usando que
é inteiro:
pois
para todo
.
Logo
Isso já está na forma
com
Passo 4
Para plotar no Octave, um exemplo de código é:
n \(=0\):\(10\);
x\(1=\) sin(\(5\)*pi*n);
x\(2=\) sqrt(\(3\))*cos(\(7\)*pi*n);
y \(=\) x\(1+\) x\(2\);
figure;
stem(n,x\(1\),"r","filled"); hold on;
stem(n,x\(2\),"b","filled");
stem(n,y,"k","filled");
legend("x\(1\)[n]","x\(2\)[n]","y[n]");
xlabel("n"); ylabel("amplitude");
title("Sequências x\(1\)[n], x\(2\)[n] e y[n]");
grid on;
Resposta
a) A condição é
com
, resultando em
.
b)
b)
c) Veja o código Octave no Passo
para gerar os gráficos.