QUESTÃO 1: Considere um par de sinais senoidais com uma frequência angular comum é definida por
x1[n]=sen(5 pi n) e x2[n]=raiz3 cos (7 pi n)
a) Especifique a condição que o período N de ambos x1[n] e x2[n] devem satisfazer para que eles sejam periódicos.
b) Expresse o sinal composto y[n]=x1[n]+x2[n] na forma y[n]=A operatorname c o s (Omega n+phi).
c) Plote por meio do software Octave os três sinais: y[n], x1[n] e x2[n].

Passo 1

O enunciado dá dois sinais discretos senoidais
x1[n]=sen(5pi n), x2[n]=raiz3,cos(7pi n)
e pede: (a) condição de periodicidade comum; (b) escrever
y[n]=x1[n]+x2[n]
como
y[n]=Acos(Omega n+phi);
(c) plotar os três sinais no Octave. Para resolver, usamos a teoria de sinais discretos: periodicidade surge se a frequência angular dividir 2pi racionalmente, e soma de cossenos/senos iguais em frequência vira um único cosseno com fase e amplitude resultantes.

Passo 2

Um sinal sin(Omega n) ou cos(Omega n) é periódico se existir inteiro N>0 tal que
NOmega = 2pi k, kinZ
Logo, para x1 e x2 terem um período comum N deve valer
Ncdot5pi = 2pi k, Ncdot7pi = 2pi ell, k,ellinZ
Dessas equações seguem
N=2k5=2ell7
Para N inteiro basta escolher k=5, ell=7, o que dá
N=2

Passo 3

Primeiro simplificamos cada sinal usando que n é inteiro:
sen(5pi n)=sen(npi)=0,
pois sen(npi)=0 para todo n.
cos(7pi n)=cos(npi)=(-1)^n
Logo
y[n]=0+raiz3,(-1)^n=raiz3,cos(npi)
Isso já está na forma
y[n]=Acos(Omega n+phi)
com
A=raiz3, Omega=pi, phi=0

Passo 4

Para plotar no Octave, um exemplo de código é:
n \(=0\):\(10\);
x\(1=\) sin(\(5\)*pi*n);
x\(2=\) sqrt(\(3\))*cos(\(7\)*pi*n);
y  \(=\) x\(1+\) x\(2\);
figure;
stem(n,x\(1\),"r","filled"); hold on;
stem(n,x\(2\),"b","filled");
stem(n,y,"k","filled");
legend("x\(1\)[n]","x\(2\)[n]","y[n]");
xlabel("n"); ylabel("amplitude");
title("Sequências x\(1\)[n], x\(2\)[n] e y[n]");
grid on;

Resposta

a) A condição é
Ncdot5pi=2pi k, Ncdot7pi=2piell
com k,ellinZ, resultando em N=2.
b)
y[n]=raiz3,cos(pi n+0)
c) Veja o código Octave no Passo 4 para gerar os gráficos.

Exercícios relacionados