Questão 2. Considere uma partícula de massa m\) que pode se mover livremente sobre o eixo \(x\) entre os pontos \(x= \pm a / 2\), mas está estritamente proibida de ser encontrada fora dessa região. A função de onda da partícula é \[\psi(x, t)= \begin{cases}A \cos \left(\frac{\pi x}{a}\right) e^{-i E t / \hbar}, & -\frac{a}{2}<x<\frac{a}{2} \\\\ 0, & x \leq-\frac{a}{2} \text { ou } x \geq \frac{a}{2}\end{cases}
a) Normalize a função de onda.
b) Calcule \Delta x=\sqrt{\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}}\]. c) Calcule \(\Delta p, usando \hat{p}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}.
d) Verifique se \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}.
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? Use \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} x}=0, \operatorname{com} \rho=|\psi|^{2}.
f) Calcule explicitamente a probabilidade de encontrar a partícula na região -a / 2<x<0.
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com \langle x\rangle. O que está acontecendo?

Passo 1

O enunciado dá a função de onda (peguei a expressão do enunciado)
\psi(x,t)=\begin{cases} A \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right) e^{-iEt/\hbar}, & -\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2},\\[6pt] 0, & x\le -\dfrac{a}{2}\\ \text{ou}\\ x\ge \dfrac{a}{2}, \end{cases}
e pede os itens (a)–(g):
(a) Determinar a constante de normalização A.
(b) Calcular \Delta x=\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2}.
(c) Calcular \Delta p usando o operador \hat p=-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x}.
(d) Verificar a desigualdade \Delta x\,\Delta p \ge \dfrac{\hbar}{2}.
(e) Encontrar o(s) ponto(s) mais prováveis, resolvendo \dfrac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}x}=0 com \rho=|\psi|^2.
(f) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula em -\dfrac{a}{2}<x<0.
(g) Comparar e discutir o resultado do item (e) com \langle x\rangle.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A partícula está restrita à região -\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2} e \psi=0 fora.
  • A dependência temporal é apenas a fase e^{-iEt/\hbar} (fator de fase global).
  • A densidade de probabilidade é \rho(x)=|\psi(x,t)|^2; como o fator de fase é de módulo 1, \rho não depende de t.
  • Fórmulas que usarei (lembrando que vou ensinar quando usar): normalização \int |\psi|^2 dx=1, esperança \langle O\rangle = \int \psi^* \hat O \psi\,dx, definições \Delta x=\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2} e \Delta p=\sqrt{\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2}.]

Passo 2

Normalização: determinar A tal que
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} |\psi(x,t)|^2\,dx =1.
Aqui |\psi|^2 = |A|^2 \cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right) (o fator e^{-iEt/\hbar} tem módulo 1). Então
|A|^2 \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\,dx =1.
Para integrar \cos^2 uso a identidade trigonométrica
\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}.
Com \theta=\dfrac{\pi x}{a},
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\,dx = \dfrac{1}{2}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} 1\,dx + \dfrac{1}{2}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\,dx.
A segunda integral é zero porque \cos\big(\tfrac{2\pi x}{a}\big) é função par mas sobre um período simétrico o termo de seno resultante anula; mais diretamente, a primitiva de \cos(2\pi x/a) avaliada em limites simétricos dá zero. Assim
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot a = \dfrac{a}{2}.
Logo
|A|^2 \cdot \dfrac{a}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad |A|^2=\dfrac{2}{a}.
Posso escolher A real e positivo:
A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}.

Passo 3

Cálculo de \langle x\rangle. Pela definição
\langle x\rangle = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \psi^*(x,t)\, x\, \psi(x,t)\,dx = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x\, |\psi(x,t)|^2\,dx.
Aqui |\psi|^2 = A^2 \cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right) é uma função par (simétrica) de x, enquanto x é ímpar. O produto x\cdot |\psi|^2 é função ímpar. A integral de uma função ímpar em limites simétricos é zero. Portanto
\langle x\rangle = 0.

Passo 4

Cálculo de \langle x^2\rangle (passo necessário para \Delta x). Temos
\langle x^2\rangle = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2 |\psi(x,t)|^2\,dx = A^2 \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2 \cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\,dx.
Uso de novo \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}:
\langle x^2\rangle = \dfrac{A^2}{2}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\,dx + \dfrac{A^2}{2}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2 \cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\,dx.
Calculo a primeira integral:
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\,dx = 2\int_0^{\frac{a}{2}} x^2\,dx = 2\cdot \dfrac{(a/2)^3}{3} = \dfrac{a^3}{12}.
Agora a integral com o cosseno. Defina k=\dfrac{2\pi}{a} e L=\dfrac{a}{2}. Então precisamos de
I=\int_{-L}^{L} x^2\cos(kx)\,dx.
Como x^2\cos(kx) é par, I=2\int_0^{L} x^2\cos(kx)\,dx. Calculo a primitiva geral por partes (fórmula útil: \int x^2\cos(kx)\,dx = \dfrac{x^2\sin(kx)}{k} + \dfrac{2x\cos(kx)}{k^2} - \dfrac{2\sin(kx)}{k^3} + C). Avaliando de 0 a L e lembrando que kL = \dfrac{2\pi}{a}\cdot \dfrac{a}{2}=\pi, temos \sin(kL)=\sin\pi=0 e \cos(kL)=\cos\pi=-1. Assim
\int_{0}^{L} x^2\cos(kx)\,dx = \left[\dfrac{x^2\sin(kx)}{k} + \dfrac{2x\cos(kx)}{k^2} - \dfrac{2\sin(kx)}{k^3}\right]_0^{L} = \dfrac{2L\cos(kL)}{k^2} - 0 = \dfrac{2L(-1)}{k^2} = -\dfrac{2L}{k^2}.
Portanto, usando I=2 vezes esse valor,
\int_{-L}^{L} x^2\cos(kx)\,dx = 2\left(-\dfrac{2L}{k^2}\right) = -\dfrac{4L}{k^2}.
Substituindo L=\dfrac{a}{2} e k=\dfrac{2\pi}{a}
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\,dx = -\dfrac{4\cdot (a/2)}{(2\pi/a)^2} = -\dfrac{a^3}{4\pi^2}.
Agora reúno os termos:
\langle x^2\rangle = \dfrac{A^2}{2}\cdot \dfrac{a^3}{12} + \dfrac{A^2}{2}\cdot\left(-\dfrac{a^3}{4\pi^2}\right) = A^2 a^3\left(\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{8\pi^2}\right).
Lembrando A^2=\dfrac{2}{a},
\langle x^2\rangle = \dfrac{2}{a}\,a^3\left(\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{8\pi^2}\right) = a^2\left(\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2\pi^2}\right).
Como \langle x\rangle=0 (Passo 3), temos
\Delta x = \sqrt{\langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2} = \sqrt{\langle x^2\rangle} = a\sqrt{\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2\pi^2}}.

Passo 5

Cálculo de \langle p\rangle. Operador \hat p = -i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x}. Primeiro derivada espacial de \psi:
\psi(x,t)=A\cos(kx)e^{-iEt/\hbar},\quad k=\dfrac{\pi}{a},
\frac{\partial\psi}{\partial x} = -A k \sin(kx)\, e^{-iEt/\hbar}.
Então
\hat p\,\psi = -i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial x} = -i\hbar (-A k \sin(kx)e^{-iEt/\hbar}) = i\hbar A k \sin(kx) e^{-iEt/\hbar}.
A esperança é
\langle p\rangle = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \psi^*(x,t)\, \hat p\,\psi(x,t)\,dx = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} A\cos(kx)e^{iEt/\hbar}\cdot i\hbar A k \sin(kx)e^{-iEt/\hbar}\,dx.
Os fatores de fase temporal se cancelam. Fica
\langle p\rangle = i\hbar A^2 k \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos(kx)\sin(kx)\,dx = i\hbar A^2 k \cdot \dfrac{1}{2}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \sin(2kx)\,dx.
A função \sin(2kx) é ímpar, integração em limites simétricos dá zero. Logo
\langle p\rangle = 0.

Passo 6

Cálculo de \langle p^2\rangle e \Delta p. Observação útil: \psi(x) é função própria da segunda derivada com constante proporcional a \cos(kx). De forma direta,
\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = -k^2 \psi(x,t),
pois \dfrac{d^2}{dx^2}\cos(kx)=-k^2\cos(kx). Portanto, agindo com \hat p^2 = -\hbar^2 \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} obtemos
\hat p^2 \psi = -\hbar^2(-k^2)\psi = \hbar^2 k^2 \psi.
Assim \psi é autfunção de \hat p^2 com autovalor \hbar^2 k^2. Então
\langle p^2\rangle = \int \psi^*\, \hat p^2\,\psi\,dx = \hbar^2 k^2 \int |\psi|^2 dx = \hbar^2 k^2,
já que \psi está normalizada. Com k=\dfrac{\pi}{a},
\langle p^2\rangle = \hbar^2 \dfrac{\pi^2}{a^2}.
Como \langle p\rangle=0, temos
\Delta p = \sqrt{\langle p^2\rangle - \langle p\rangle^2} = \hbar \dfrac{\pi}{a}.

Passo 7

Verificação da desigualdade de Heisenberg: produto das incertezas
\Delta x\,\Delta p = \left(a\sqrt{\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2\pi^2}}\right)\left(\hbar\dfrac{\pi}{a}\right) = \hbar\,\pi\sqrt{\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2\pi^2}}.
Faço uma estimativa numérica rápida para comparar com \hbar/2:
\dfrac{1}{12}\approx 0{,}083333,\qquad \dfrac{1}{2\pi^2}\approx 0{,}050660,
diferença \approx 0{,}032673. A raiz é \approx 0{,}1808. Multiplicando por \pi obtém-se \approx 0{,}5679. Portanto
\Delta x\,\Delta p \approx 0{,}5679\,\hbar > 0{,}5\,\hbar = \dfrac{\hbar}{2}.
Logo a desigualdade de Heisenberg \Delta x\,\Delta p \ge \dfrac{\hbar}{2} é satisfeita (com folga neste estado).

Passo 8

Item (e): ponto mais provável (máximo de \rho). A densidade é
\rho(x)=|\psi(x,t)|^2 = A^2 \cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right).
Derivando e igualando a zero:
\frac{d\rho}{dx} = A^2\cdot 2\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\cdot\left(-\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\right)\cdot \dfrac{\pi}{a} = -A^2 \dfrac{2\pi}{a}\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right).
Usando \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, essa derivada é proporcional a \sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right). Zeros acontecem quando
\sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{2\pi x}{a}=n\pi \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{n a}{2},
para n\in\mathbb{Z}. No domínio permitido -\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2} as soluções são x=0 e os extremos x=\pm \dfrac{a}{2} (estes últimos correspondem ao contorno onde \psi=0). Avaliando \rho, tem-se \rho(0)=A^2 (máximo) e \rho(\pm a/2)=0 (mínimos/zeros). Portanto o ponto mais provável é
x=0.

Passo 9

Item (f): probabilidade de encontrar a partícula em -\dfrac{a}{2}<x<0.
Como |\psi|^2 é função par (simétrica em torno de x=0), a probabilidade de estar à esquerda é igual à probabilidade de estar à direita. E como a integral total é 1, cada metade contém probabilidade 1/2. Logo
P\Big(-\dfrac{a}{2}<x<0\Big) = \dfrac{1}{2}.
Se desejar, pode-se mostrar integrando explicitamente:
P=\int_{-\frac{a}{2}}^{0} A^2\cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)dx = \dfrac{1}{2}\int_{-\frac{a}{2}}^{0} A^2 \,dx + \cdots = \dfrac{1}{2}.

Passo 10

Item (g): comparação e discussão entre o resultado do item (e) (modo: ponto mais provável x=0) e \langle x\rangle=0.
Explicação didática e intuitiva:
  • O modo (valor que maximiza \rho) é x=0: isso significa que, entre todos os pontos, o ponto com maior densidade de probabilidade é x=0. Em termos leigos: um pequeno intervalo centrado em x=0 tem maior probabilidade por unidade de comprimento do que um pequeno intervalo de mesmo comprimento em qualquer outro ponto.
  • A média \langle x\rangle=0 é a média ponderada das posições possíveis; aqui ela coincide numericamente com o modo porque a distribuição é perfeitamente simétrica em torno de zero.
  • Porém, atenção importante: o fato de o modo ser x=0 não significa que a partícula esteja localizada exatamente em x=0 com probabilidade finita. A probabilidade de encontrar a partícula exatamente em um ponto (medida de Lebesgue) é zero. O que importa é a probabilidade de encontrá-la em um pequeno intervalo ao redor de 0, que é maior do que a de encontrar em intervalos de mesmo tamanho em outros pontos.
  • Conclusão concreta: modo e média coincidem aqui (ambos zero) devido à simetria da função de onda, mas a partícula está espalhada (tem uma incerteza \Delta x>0). Portanto não há contradição: o máximo local da densidade e o valor esperado são ambos zero por simetria, mas a distribuição não é um delta concentrado — existe dispersão.

Resposta

(a) A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}
(b) \displaystyle \Delta x = a\sqrt{\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2\pi^{2}}}
(c) \displaystyle \Delta p = \hbar\,\dfrac{\pi}{a}
(d) \displaystyle \Delta x\,\Delta p = \hbar\,\pi\sqrt{\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2\pi^{2}}}\approx 0{,}5679\,\hbar \;>\; \dfrac{\hbar}{2}
(e) Ponto mais provável: x=0
(f) \displaystyle P\Big(-\dfrac{a}{2}<x<0\Big)=\dfrac{1}{2}
(g) Tanto o modo (máximo de \rho) quanto a média \langle x\rangle valem zero por simetria; isso não contradiz a existência de uma largura \Delta x>0: o estado está espalhado, mas centrado em x=0.

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