Questão 2. Considere uma partícula de massa m\) que pode se mover livremente sobre o eixo \(x\) entre os pontos \(x= \pm a / 2\), mas está estritamente proibida de ser encontrada fora dessa região. A função de onda da partícula é
\[\psi(x, t)= \begin{cases}A \cos \left(\frac{\pi x}{a}\right) e^{-i E t / \hbar}, & -\frac{a}{2}<x<\frac{a}{2} \\\\ 0, & x \leq-\frac{a}{2} \text { ou } x \geq \frac{a}{2}\end{cases}
a) Normalize a função de onda.
b) Calcule \Delta x=\sqrt{\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}}\].
c) Calcule \(\Delta p, usando \hat{p}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}.
d) Verifique se \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}.
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? Use \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} x}=0, \operatorname{com} \rho=|\psi|^{2}.
f) Calcule explicitamente a probabilidade de encontrar a partícula na região -a / 2<x<0.
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com \langle x\rangle. O que está acontecendo?
Passo 1
O enunciado dá a função de onda (peguei a expressão do enunciado)
A segunda integral é zero porque \cos\big(\tfrac{2\pi x}{a}\big) é função par mas sobre um período simétrico o termo de seno resultante anula; mais diretamente, a primitiva de \cos(2\pi x/a) avaliada em limites simétricos dá zero. Assim
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot a = \dfrac{a}{2}.
Aqui |\psi|^2 = A^2 \cos^2\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right) é uma função par (simétrica) de x, enquanto x é ímpar. O produto x\cdot |\psi|^2 é função ímpar. A integral de uma função ímpar em limites simétricos é zero. Portanto
\langle x\rangle = 0.
Passo 4
Cálculo de \langle x^2\rangle (passo necessário para \Delta x). Temos
Agora a integral com o cosseno. Defina k=\dfrac{2\pi}{a} e L=\dfrac{a}{2}. Então precisamos de
I=\int_{-L}^{L} x^2\cos(kx)\,dx.
Como x^2\cos(kx) é par, I=2\int_0^{L} x^2\cos(kx)\,dx. Calculo a primitiva geral por partes (fórmula útil: \int x^2\cos(kx)\,dx = \dfrac{x^2\sin(kx)}{k} + \dfrac{2x\cos(kx)}{k^2} - \dfrac{2\sin(kx)}{k^3} + C). Avaliando de 0 a L e lembrando que kL = \dfrac{2\pi}{a}\cdot \dfrac{a}{2}=\pi, temos \sin(kL)=\sin\pi=0 e \cos(kL)=\cos\pi=-1. Assim
\frac{\partial\psi}{\partial x} = -A k \sin(kx)\, e^{-iEt/\hbar}.
Então
\hat p\,\psi = -i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial x} = -i\hbar (-A k \sin(kx)e^{-iEt/\hbar}) = i\hbar A k \sin(kx) e^{-iEt/\hbar}.
A esperança é
\langle p\rangle = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \psi^*(x,t)\, \hat p\,\psi(x,t)\,dx = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} A\cos(kx)e^{iEt/\hbar}\cdot i\hbar A k \sin(kx)e^{-iEt/\hbar}\,dx.
Os fatores de fase temporal se cancelam. Fica
\langle p\rangle = i\hbar A^2 k \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos(kx)\sin(kx)\,dx = i\hbar A^2 k \cdot \dfrac{1}{2}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \sin(2kx)\,dx.
A função \sin(2kx) é ímpar, integração em limites simétricos dá zero. Logo
\langle p\rangle = 0.
Passo 6
Cálculo de \langle p^2\rangle e \Delta p. Observação útil: \psi(x) é função própria da segunda derivada com constante proporcional a \cos(kx). De forma direta,
Usando \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, essa derivada é proporcional a \sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right). Zeros acontecem quando
\sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{2\pi x}{a}=n\pi \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{n a}{2},
para n\in\mathbb{Z}. No domínio permitido -\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2} as soluções são x=0 e os extremos x=\pm \dfrac{a}{2} (estes últimos correspondem ao contorno onde \psi=0). Avaliando \rho, tem-se \rho(0)=A^2 (máximo) e \rho(\pm a/2)=0 (mínimos/zeros). Portanto o ponto mais provável é
x=0.
Passo 9
Item (f): probabilidade de encontrar a partícula em -\dfrac{a}{2}<x<0.
Como |\psi|^2 é função par (simétrica em torno de x=0), a probabilidade de estar à esquerda é igual à probabilidade de estar à direita. E como a integral total é 1, cada metade contém probabilidade 1/2. Logo
P\Big(-\dfrac{a}{2}<x<0\Big) = \dfrac{1}{2}.
Se desejar, pode-se mostrar integrando explicitamente:
Item (g): comparação e discussão entre o resultado do item (e) (modo: ponto mais provável x=0) e \langle x\rangle=0.
Explicação didática e intuitiva:
O modo (valor que maximiza \rho) é x=0: isso significa que, entre todos os pontos, o ponto com maior densidade de probabilidade é x=0. Em termos leigos: um pequeno intervalo centrado em x=0 tem maior probabilidade por unidade de comprimento do que um pequeno intervalo de mesmo comprimento em qualquer outro ponto.
A média \langle x\rangle=0 é a média ponderada das posições possíveis; aqui ela coincide numericamente com o modo porque a distribuição é perfeitamente simétrica em torno de zero.
Porém, atenção importante: o fato de o modo ser x=0 não significa que a partícula esteja localizada exatamente em x=0 com probabilidade finita. A probabilidade de encontrar a partícula exatamente em um ponto (medida de Lebesgue) é zero. O que importa é a probabilidade de encontrá-la em um pequeno intervalo ao redor de 0, que é maior do que a de encontrar em intervalos de mesmo tamanho em outros pontos.
Conclusão concreta: modo e média coincidem aqui (ambos zero) devido à simetria da função de onda, mas a partícula está espalhada (tem uma incerteza \Delta x>0). Portanto não há contradição: o máximo local da densidade e o valor esperado são ambos zero por simetria, mas a distribuição não é um delta concentrado — existe dispersão.
Resposta
(a) A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}
(b) \displaystyle \Delta x = a\sqrt{\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2\pi^{2}}}
(c) \displaystyle \Delta p = \hbar\,\dfrac{\pi}{a}
(d) \displaystyle \Delta x\,\Delta p = \hbar\,\pi\sqrt{\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2\pi^{2}}}\approx 0{,}5679\,\hbar \;>\; \dfrac{\hbar}{2}
(g) Tanto o modo (máximo de \rho) quanto a média \langle x\rangle valem zero por simetria; isso não contradiz a existência de uma largura \Delta x>0: o estado está espalhado, mas centrado em x=0.