Questão 1. Considere uma distribuição de probabilidade de uma partícula definida no intervalo 0 \leq x \leq 1, tal que os únicos valores não nulos dessa distribuição estão nos pontos:
i 1 2 3 4
x_{i} 0 0,5 0,7 1
\rho_{i} 0,1 0,6 0,2 0,1
a) Calcule
\langle x\rangle=\frac{\sum_{i=1}^{4} \rho_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{4} \rho_{i}} .
b) Calcule
\Delta x=\sqrt{\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}}
c) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição discreta de probabilidade com quatro pontos (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Para i=1: x_{1}=0, \rho_{1}=0,1.
  • Para i=2: x_{2}=0,5, \rho_{2}=0,6.
  • Para i=3: x_{3}=0,7, \rho_{3}=0,2.
  • Para i=4: x_{4}=1, \rho_{4}=0,1.
O enunciado pede três coisas:
a) Calcular \langle x\rangle=\dfrac{\sum_{i=1}^{4}\rho_{i}x_{i}}{\sum_{i=1}^{4}\rho_{i}}.
b) Calcular \Delta x=\sqrt{\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2}}.
c) Indicar o local mais provável de se localizar a partícula e justificar.

Passo 2

Breve aula: o que é \langle x\rangle e por que dividir por \sum\rho_i.
  • Para uma distribuição discreta com pesos \rho_{i} nos pontos x_{i}, a média (valor esperado) é
\langle x\rangle=\frac{\sum_{i}\rho_{i}x_{i}}{\sum_{i}\rho_{i}}.
Aqui \rho_{i} são os pesos (probabilidades relativas) e o denominador \sum_{i}\rho_{i} garante normalização caso os \rho_i não somem exatamente 1. Cada termo \rho_{i}x_{i} é a contribuição de x_i ao total ponderado.
Primeiro verifico a soma das \rho_i:
\sum_{i=1}^{4}\rho_{i}=0,1+0,6+0,2+0,1=1.
Portanto a distribuição já está normalizada e a fórmula simplifica para \langle x\rangle=\sum_{i}\rho_{i}x_{i}.

Passo 3

Calcular \langle x\rangle passo a passo (cada contribuição \rho_i x_i):
\rho_{1}x_{1}=0,1\cdot 0=0,
\rho_{2}x_{2}=0,6\cdot 0,5=0,30,
\rho_{3}x_{3}=0,2\cdot 0,7=0,14,
\rho_{4}x_{4}=0,1\cdot 1=0,10.
Somando as contribuições:
\langle x\rangle=0+0,30+0,14+0,10=0,54.

Passo 4

Breve aula: definição de \langle x^{2}\rangle, variância e desvio padrão.
  • Define-se
\langle x^{2}\rangle=\frac{\sum_{i}\rho_{i}x_{i}^{2}}{\sum_{i}\rho_{i}}.
  • A variância é \sigma^{2}=\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2} e o desvio padrão é \Delta x=\sqrt{\sigma^{2}}. A variância mede o espalhamento dos valores em torno da média.
Como \sum\rho_i=1 usamos \langle x^{2}\rangle=\sum_{i}\rho_{i}x_{i}^{2}.

Passo 5

Calcular \langle x^{2}\rangle explicitamente (cada termo \rho_i x_i^{2}):
x_{1}^{2}=0^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad \rho_{1}x_{1}^{2}=0,1\cdot 0=0,
x_{2}^{2}=0,5^{2}=0,25 \quad\Rightarrow\quad \rho_{2}x_{2}^{2}=0,6\cdot 0,25=0,150,
x_{3}^{2}=0,7^{2}=0,49 \quad\Rightarrow\quad \rho_{3}x_{3}^{2}=0,2\cdot 0,49=0,098,
x_{4}^{2}=1^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad \rho_{4}x_{4}^{2}=0,1\cdot 1=0,100.
Somando:
\langle x^{2}\rangle=0+0,150+0,098+0,100=0,348.

Passo 6

Calcular a variância e o desvio padrão:
\sigma^{2}=\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2}=0,348-(0,54)^{2}.
Calculo de (0,54)^{2}:
(0,54)^{2}=0,2916.
Portanto
\sigma^{2}=0,348-0,2916=0,0564.
Agora \Delta x=\sqrt{0,0564}. Para estimar a raiz sem calculadora faço uma interpolação simples entre 0,23^{2}=0,0529 e 0,24^{2}=0,0576. Nosso número 0,0564 está mais próximo de 0,24^{2}. A aproximação linear dá
\Delta x\approx 0,237\\ (\text{aproximadamente}).
(mais precisamente \Delta x\approx 0,2374, mas 0,237 ou 0,238 são valores adequados para provas sem calculadora.)

Passo 7

Responder qual é o local mais provável (modo) e justificar:
  • Em distribuições discretas os locais possíveis são os pontos x_i e a probabilidade de cada ponto é proporcional a \rho_i (aqui já normalizado).
  • O local mais provável é o x_i associado ao maior valor de \rho_i.
Observando os \rho_i: \rho_{1}=0,1, \rho_{2}=0,6, \rho_{3}=0,2, \rho_{4}=0,1. O maior é \rho_{2}=0,6, portanto o local mais provável é x_{2}=0,5. Em palavras: a partícula tem maior chance de ser encontrada em x=0,5 porque ali está concentrada a maior fração da probabilidade.

Resposta

a) \langle x\rangle=0,54
b) \Delta x\approx 0,237
c) x_{\text{mais provável}}=0,5á (porque \rho_{2}=0,6 é a maior probabilidade)

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