Questão 1. Considere uma distribuição de probabilidade de uma partícula definida no intervalo
, tal que os únicos valores não nulos dessa distribuição estão nos pontos:
1
2
3
4
0
0,5
0,7
1
0,1
0,6
0,2
0,1
a) Calcule
b) Calcule
c) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? Justifique.
|
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1 | 2 | 3 | 4 |
|
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0 | 0,5 | 0,7 | 1 |
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0,1 | 0,6 | 0,2 | 0,1 |
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição discreta de probabilidade com quatro pontos (peguei estes números da tabela do enunciado):
- Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , .
O enunciado pede três coisas:
a) Calcular .
b) Calcular .
c) Indicar o local mais provável de se localizar a partícula e justificar.
a) Calcular
b) Calcular
c) Indicar o local mais provável de se localizar a partícula e justificar.
Passo 2
Breve aula: o que é
e por que dividir por
.
- Para uma distribuição discreta com pesos
nos pontos , a média (valor esperado) é
Aqui
são os pesos (probabilidades relativas) e o denominador
garante normalização caso os
não somem exatamente 1. Cada termo
é a contribuição de
ao total ponderado.
Primeiro verifico a soma das
:
Portanto a distribuição já está normalizada e a fórmula simplifica para
.
Passo 3
Calcular
passo a passo (cada contribuição
):
Somando as contribuições:
Passo 4
Breve aula: definição de
, variância e desvio padrão.
- Define-se
- A variância é
e o desvio padrão é . A variância mede o espalhamento dos valores em torno da média.
Como
usamos
.
Passo 5
Calcular
explicitamente (cada termo
):
Somando:
Passo 6
Calcular a variância e o desvio padrão:
Calculo de
:
Portanto
Agora
. Para estimar a raiz sem calculadora faço uma interpolação simples entre
e
. Nosso número
está mais próximo de
. A aproximação linear dá
(mais precisamente
, mas
ou
são valores adequados para provas sem calculadora.)
Passo 7
Responder qual é o local mais provável (modo) e justificar:
- Em distribuições discretas os locais possíveis são os pontos
e a probabilidade de cada ponto é proporcional a (aqui já normalizado). - O local mais provável é o
associado ao maior valor de .
Observando os
:
,
,
,
. O maior é
, portanto o local mais provável é
. Em palavras: a partícula tem maior chance de ser encontrada em
porque ali está concentrada a maior fração da probabilidade.
Resposta
a)
b)
c) (porque
é a maior probabilidade)
b)
c)