Considere um sistema conservativo sem vínculos descrito por uma lagrangeana
. Sejam
uma coordenada generalizada e
o momento generalizado associado. Se
for uma constante, qual das afirmativas abaixo está correta sempre?
a)
b)
é uma coordenada ignorável
c)
não pode ser definida
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Foi dada uma lagrangeana
que descreve um sistema conservativo sem vínculos. - Existe uma coordenada generalizada
e o momento canônico associado . - A hipótese é:
é uma constante (isto é, ). - O enunciado pergunta qual das afirmativas (a)–(e) é sempre correta sob essa hipótese.
As afirmativas são:
a)
b) é uma coordenada ignorável
c) não pode ser definida
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Definições essenciais (bem mastigadas):
- A lagrangeana é uma função
que depende das coordenadas generalizadas das velocidades e possivelmente do tempo . - O momento canônico associado à coordenada
é definido por
Aqui
significa: derivada parcial de
mantendo as demais coordenadas e velocidades fixas; em palavras, como
muda quando só a velocidade
varia.
Passo 3
A equação de movimento fundamental (Euler–Lagrange) para a coordenada
é
Substituindo a definição do momento canônico, isso fica
Explicando devagar: a taxa de variação do momento canônico no tempo é igual à derivada parcial de
em relação à coordenada correspondente.
Passo 4
Agora uso a hipótese do enunciado:
é constante, isto é
Colocando isso na relação do Passo 3 obtemos
Portanto, sempre que
for conservado (constante no tempo), vale necessariamente
.
Passo 5
Interpretação física e terminologia (para não confundir):
- Diz-se que uma coordenada
é “ignorável” ou “cíclica” quando
Isto significa que
não depende explicitamente de
; nessa situação o momento conjugado
é automaticamente conservado. Logo a implicação lógica correta é:
é conservado (via Euler–Lagrange).
- Repare a diferença entre “coordenada” e “momento”:
é uma coordenada, é o momento associado. Assim, afirmar que " é uma coordenada ignorável" (opção b) está mal formulado: o que se chama de coordenada ignorável é , não .
Passo 6
Vou verificar rapidamente as demais alternativas para explicar por que não são sempre verdadeiras:
-
b) "
é uma coordenada ignorável": incorreta por categoria (momento ≠ coordenada). O correto é: se então é ignorável e é conservado. Mas não se diz que o próprio é uma coordenada ignorável. -
c) "
não pode ser definida": sem sentido — a hipótese de constante não impede definir . Errado. -
d) "
": isso só vale em casos muito particulares. Por exemplo, para a lagrangeana tem-se , então só se . Em geral não é igual a . Portanto não é sempre verdadeiro. -
e) "
": isso confunde Lagrangeana com Hamiltoniana. Em mecânica Hamiltoniana vale
onde
é a Hamiltoniana. A lagrangeana
geralmente não é função de
, por isso
nem faz sentido na formulação usual. Logo e) é falsa.
Passo 7
Um exemplo concreto para fixar a intuição (exemplo clássico de coordenada cíclica):
Considere movimento planar em coordenadas polares com lagrangeana
Aqui
não depende de
, isto é
. O momento conjugado à
é
e por Euler–Lagrange
, ou seja
é constante. Esse exemplo mostra a equivalência prática:
conservado.
Resposta
a)