Considere um sistema conservativo sem vínculos descrito por uma lagrangeana L. Sejam q_{n} uma coordenada generalizada e p_{n} o momento generalizado associado. Se p_{n} for uma constante, qual das afirmativas abaixo está correta sempre?
a) \partial L / \partial q_{n}=0
b) p_{n} é uma coordenada ignorável
c) q_{n} não pode ser definida
d) p_{n}=\dot{q}_{n}
e) \dot{q}_{n}=\partial L / \partial p_{n}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada uma lagrangeana L que descreve um sistema conservativo sem vínculos.
  • Existe uma coordenada generalizada \,q_{n}\, e o momento canônico associado \,p_{n}\,.
  • A hipótese é: \,p_{n}\, é uma constante (isto é, \dfrac{d}{dt}p_{n}=0).
  • O enunciado pergunta qual das afirmativas (a)–(e) é sempre correta sob essa hipótese.
As afirmativas são:
a) \dfrac{\partial L}{\partial q_{n}}=0
b) p_{n} é uma coordenada ignorável
c) q_{n} não pode ser definida
d) p_{n}=\dot{q}_{n}
e) \dot{q}_{n}=\dfrac{\partial L}{\partial p_{n}}

Passo 2

Definições essenciais (bem mastigadas):
  • A lagrangeana é uma função \,L(q,\dot q,t)\, que depende das coordenadas generalizadas \,q\,, das velocidades \,\dot q\,, e possivelmente do tempo t.
  • O momento canônico associado à coordenada \,q_{n}\, é definido por
p_{n}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{n}}.
Aqui \partial L/\partial\dot q_{n} significa: derivada parcial de L mantendo as demais coordenadas e velocidades fixas; em palavras, como L muda quando só a velocidade \dot q_{n} varia.

Passo 3

A equação de movimento fundamental (Euler–Lagrange) para a coordenada \,q_{n}\, é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{n}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{n}}=0.
Substituindo a definição do momento canônico, isso fica
\frac{d}{dt}p_{n}-\frac{\partial L}{\partial q_{n}}=0, \quad\text{ou seja}\quad \frac{d}{dt}p_{n}=\frac{\partial L}{\partial q_{n}}.
Explicando devagar: a taxa de variação do momento canônico no tempo é igual à derivada parcial de L em relação à coordenada correspondente.

Passo 4

Agora uso a hipótese do enunciado: \,p_{n}\, é constante, isto é
\frac{d}{dt}p_{n}=0.
Colocando isso na relação do Passo 3 obtemos
0=\frac{\partial L}{\partial q_{n}}.
Portanto, sempre que p_{n} for conservado (constante no tempo), vale necessariamente \dfrac{\partial L}{\partial q_{n}}=0.

Passo 5

Interpretação física e terminologia (para não confundir):
  • Diz-se que uma coordenada q_{n} é “ignorável” ou “cíclica” quando
\frac{\partial L}{\partial q_{n}}=0.
Isto significa que L não depende explicitamente de q_{n}; nessa situação o momento conjugado p_{n} é automaticamente conservado. Logo a implicação lógica correta é: \dfrac{\partial L}{\partial q_{n}}=0 \iff p_{n} é conservado (via Euler–Lagrange).
  • Repare a diferença entre “coordenada” e “momento”: q_{n} é uma coordenada, p_{n} é o momento associado. Assim, afirmar que " p_{n} é uma coordenada ignorável" (opção b) está mal formulado: o que se chama de coordenada ignorável é q_{n}, não p_{n}.

Passo 6

Vou verificar rapidamente as demais alternativas para explicar por que não são sempre verdadeiras:
  • b) " p_{n} é uma coordenada ignorável": incorreta por categoria (momento ≠ coordenada). O correto é: se \partial L/\partial q_{n}=0 então q_{n} é ignorável e p_{n} é conservado. Mas não se diz que o próprio p_{n} é uma coordenada ignorável.
  • c) " q_{n} não pode ser definida": sem sentido — a hipótese de p_{n} constante não impede definir q_{n}. Errado.
  • d) " p_{n}=\dot{q}_{n}": isso só vale em casos muito particulares. Por exemplo, para a lagrangeana L=\tfrac{1}{2}m\dot q^{2}-V(q) tem-se p=m\dot q, então p=\dot q só se m=1. Em geral p_{n}=\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_{n}} não é igual a \dot q_{n}. Portanto não é sempre verdadeiro.
  • e) " \dot{q}_{n}=\dfrac{\partial L}{\partial p_{n}}": isso confunde Lagrangeana com Hamiltoniana. Em mecânica Hamiltoniana vale
\dot q_{n}=\frac{\partial H}{\partial p_{n}},
onde H é a Hamiltoniana. A lagrangeana L geralmente não é função de p_{n}, por isso \partial L/\partial p_{n} nem faz sentido na formulação usual. Logo e) é falsa.

Passo 7

Um exemplo concreto para fixar a intuição (exemplo clássico de coordenada cíclica):
Considere movimento planar em coordenadas polares com lagrangeana
L=\tfrac{1}{2}m\big(\dot r^{2}+r^{2}\dot\varphi^{2}\big)-V(r).
Aqui L não depende de \varphi, isto é \partial L/\partial\varphi=0. O momento conjugado à \varphi é
p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial \dot\varphi}=m r^{2}\dot\varphi,
e por Euler–Lagrange \dfrac{d}{dt}p_{\varphi}=0, ou seja p_{\varphi} é constante. Esse exemplo mostra a equivalência prática: \partial L/\partial q_{n}=0 \iff p_{n} conservado.

Resposta

a)

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