• Questão 2 Considere o PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=2 \delta(t), \quad t>0 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.
2A.(1.0pt) Obtenha a transformada de Laplace Y(\cdot) da solução y(t) do PVI.
2B.(1.0pt) Obtenha a solução y(t) usando o resultado do ítem (A).

Passo 1

O enunciado dá o PVI
\begin{cases} y''(t) + 4\,y'(t) + 5\,y(t) = 2\,\delta(t), & t>0,\\\ y(0)=1,\quad y'(0)=-1, \end{cases}
e pede em (A) a transformada de Laplace Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) e em (B) a solução y(t). Vamos usar as propriedades
  • \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
  • \mathcal{L}\{y'\}(s)=s\,Y(s)-y(0),
  • \mathcal{L}\{\delta(t)\}(s)=1.

Passo 2

Aplicando a transformada à equação diferencial:
\mathcal{L}\{y''\}+4\,\mathcal{L}\{y'\}+5\,\mathcal{L}\{y\} =2\,\mathcal{L}\{\delta(t)\}
torna-se
\bigl(s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr) +4\bigl(s\,Y(s)-y(0)\bigr) +5\,Y(s) =2\cdot1.
Substituindo y(0)=1 e y'(0)=-1 obtemos
(s^2Y - s\cdot1 -(-1)) +4(sY -1) +5Y =2 \;\;\Longrightarrow\;\; (s^2+4s+5)\,Y(s) -s +1 -4 =2.

Passo 3

Isolando Y(s):
(s^2+4s+5)\,Y(s) = 2 + s +3 = s +5 \;\;\Longrightarrow\;\; Y(s) = \frac{s+5}{s^2+4s+5}.
Para inverter, escrevemos o denominador em forma completada:
s^2+4s+5 = (s+2)^2 +1.

Passo 4

Fazendo a divisão de frações parciais adaptada:
Y(s) = \frac{s+2}{(s+2)^2+1} \;+\;\frac{3}{(s+2)^2+1}.
Reconhecendo transformadas conhecidas:
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos t\}(s) =\frac{s+2}{(s+2)^2+1}, \qquad \mathcal{L}\{e^{-2t}\sin t\}(s) =\frac{1}{(s+2)^2+1},
temos
y(t) = e^{-2t}\cos t +3\,e^{-2t}\sin t, \quad t>0.

Resposta

2A. \displaystyle Y(s)=\frac{s+5}{s^2+4s+5}=\frac{s+5}{(s+2)^2+1}.
2B. \displaystyle y(t)=e^{-2t}\bigl(\cos t+3\sin t\bigr),\;t>0.

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