Questão 9. Considere a seguinte função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a \sqrt{x+1}+b \sqrt{x+4}, & \text { se } x \geq 0, \\\ x+\frac{1}{1-x}, & \text { se } x<0,\end{array}\right. onde a, b são constantes reais. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (Por que?).
Para quaisquer a, b \in \mathbb{R}, \operatorname{com} a+2 b=1, a função f é contínua em x=0.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A afirmação a verificar é: “Para quaisquer a,b\in\mathbb{R}, com a+2b=1, a função f é contínua em x=0.”
O que se pede: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar por quê. Não vou resolver ainda; só listei os dados e a pergunta.]
Passo 2
Lembrete (mini-aula) sobre continuidade em um ponto e limites laterais — o que preciso usar aqui.
Uma função f é contínua em x=0 se, e somente se,
\lim_{x\to 0^-} f(x)=f(0)=\lim_{x\to 0^+} f(x).
Isto significa que os limites laterais existem e são iguais entre si e iguais ao valor da função em 0.
Como a função é definida por partes com mudança em x=0, preciso calcular separadamente \lim_{x\to0^-} f(x), \lim_{x\to0^+} f(x) e f(0), e comparar.
Observação sobre continuidade de operações básicas: somas, produtos e composições de funções contínuas são contínuas onde definidas. As funções \sqrt{\cdot}, polinômios e funções racionais (quando o denominador não é zero) são contínuas em seus domínios. Isso facilita o cálculo dos limites.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 0^-} f(x).
Para x<0 vale f(x)=x+\dfrac{1}{1-x}. Essa expressão é uma soma de funções contínuas (a função identidade x e a função racional \dfrac{1}{1-x}) no ponto x=0 porque o denominador 1-x em x=0 vale 1\neq0. Assim o limite é simplesmente o valor obtido ao substituir x=0:
Calcular o limite pela direita \lim_{x\to0^+} f(x) e o valor f(0).
Para x\ge 0 vale f(x)=a\sqrt{x+1}+b\sqrt{x+4}. As funções \sqrt{x+1} e \sqrt{x+4} são contínuas para x\ge -1 e x\ge -4 respectivamente, logo são contínuas em x=0. Portanto o limite pela direita é o valor obtido substituindo x=0:
Como x=0 pertence à região x\ge0, o valor da função em 0 é dado pela mesma expressão:
f(0)=a\sqrt{1}+b\sqrt{4}=a+2b.
Passo 5
Condição para continuidade e conclusão lógica.
Para que f seja contínua em x=0 é necessário e suficiente que
\lim_{x\to0^-} f(x)=f(0)=\lim_{x\to0^+} f(x).
Substituindo os valores que calculei:
1 \quad\text{(limite pela esquerda)} \quad\stackrel{?}{=}\quad a+2b \quad\text{(valor e limite pela direita)}.
Portanto a condição necessária e suficiente é
a+2b=1.
Logo: se a+2b=1 então os limites laterais e o valor coincidem e f é contínua em 0. Se a+2b\neq1 então há uma descontinuidade do tipo salto (por exemplo, com a=0,b=0 tem-se f(0)=0 e \lim_{x\to0^-}f(x)=1, logo descontinuidade).