Questão 6. Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{2 x+1}, & \text { se } x \leq 0, \\\ x+1, & \text { se } x>0 .\end{array}\right. Calcule f^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \sqrt{2x+1}, & \text{se } x\le 0,\\[4pt] x+1, & \text{se } x>0. \end{cases}
O que se pede: calcular f'(0), isto é, a derivada de f no ponto x=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x\le 0 vale f(x)=\sqrt{2x+1}.
  • Para x>0 vale f(x)=x+1.
  • Em particular, f(0)=\sqrt{1}=1.]

Passo 2

Lembrete didático sobre derivada no ponto: a derivada de f em a é o limite
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe. Para funções definidas por partes em um ponto de troca de definição (como 0 aqui) é comum calcular as derivadas laterais:
f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} \qquad\text{e}\qquad f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
A derivada f'(0) existe se, e somente se, f'_-(0) e f'_+(0) existem e são iguais.

Passo 3

Primeiro verificamos continuidade (útil porque derivável implica contínua). As duas aproximações para x\to0 dão:
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\sqrt{2x+1}=\sqrt{1}=1,
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x+1)=1.
Como ambos os limites são 1 e f(0)=1, a função é contínua em 0. Isso não garante derivabilidade, mas é um bom sinal — agora calculamos as derivadas laterais.

Passo 4

Cálculo da derivada lateral pela esquerda f'_-(0). Usamos a definição:
f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to 0^-}\frac{\sqrt{2h+1}-1}{h}.
Para avaliar esse limite, racionalizamos o numerador multiplicando por \dfrac{\sqrt{2h+1}+1}{\sqrt{2h+1}+1}:
\frac{\sqrt{2h+1}-1}{h}\cdot\frac{\sqrt{2h+1}+1}{\sqrt{2h+1}+1} =\frac{2h+1-1}{h\bigl(\sqrt{2h+1}+1\bigr)} =\frac{2h}{h\bigl(\sqrt{2h+1}+1\bigr)} =\frac{2}{\sqrt{2h+1}+1}.
Agora tomamos limite h\to0^-:
f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{2}{\sqrt{2h+1}+1} =\frac{2}{\sqrt{1}+1}=\frac{2}{2}=1.

Passo 5

Cálculo da derivada lateral pela direita f'_+(0). Para h>0 usamos f(0+h)= (0+h)+1 = h+1. Pela definição:
f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to 0^+}\frac{(h+1)-1}{h} =\lim_{h\to 0^+}\frac{h}{h}=1.

Passo 6

Como f'_-(0)=1 e f'_+(0)=1, as derivadas laterais existem e são iguais. Portanto a derivada em 0 existe e vale 1.

Resposta

f'(0)=1

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