Questão 6. Seja
Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
O que se pede: calcular
, isto é, a derivada de
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- Para
vale . - Para
vale . - Em particular,
.]
Passo 2
Lembrete didático sobre derivada no ponto: a derivada de
em
é o limite
quando esse limite existe. Para funções definidas por partes em um ponto de troca de definição (como
aqui) é comum calcular as derivadas laterais:
A derivada
existe se, e somente se,
e
existem e são iguais.
Passo 3
Primeiro verificamos continuidade (útil porque derivável implica contínua). As duas aproximações para
dão:
Como ambos os limites são
e
, a função é contínua em
. Isso não garante derivabilidade, mas é um bom sinal — agora calculamos as derivadas laterais.
Passo 4
Cálculo da derivada lateral pela esquerda
. Usamos a definição:
Para avaliar esse limite, racionalizamos o numerador multiplicando por
:
Agora tomamos limite
:
Passo 5
Cálculo da derivada lateral pela direita
. Para
usamos
. Pela definição:
Passo 6
Como
e
, as derivadas laterais existem e são iguais. Portanto a derivada em
existe e vale
.