Questão 3. Calcule, a partir da definição, a derivada de f(x)=\sqrt{2 x+1}.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: a função é f(x)=\sqrt{2x+1}. O pedido é calcular a derivada a partir da definição (ou seja, pelo quociente incremental). Informações importantes que vem do enunciado:
  • A expressão dentro da raiz é 2x+1.
  • A função só está definida quando 2x+1\ge 0, ou seja para x\ge -\tfrac{1}{2}.
  • Vamos aplicar a definição da derivada para pontos do domínio onde a derivada pode existir.

Passo 2

Escrevendo a definição da derivada em termos do incremento h:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui f'(x) significa a derivada de f em um ponto fixo x (se o limite existir). A ideia é calcular esse limite usando a forma explícita de f.

Passo 3

Substituo f(x)=\sqrt{2x+1} dentro do quociente:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{2(x+h)+1}-\sqrt{2x+1}}{h}=\frac{\sqrt{2x+2h+1}-\sqrt{2x+1}}{h}.
Esse quociente tem a forma "diferença de raízes sobre h", que é indeterminada quando h\to0. Para eliminar a indeterminação, uso a técnica de racionalizar o numerador.

Passo 4

Racionalizo o numerador multiplicando numerador e denominador pela conjugada \sqrt{2x+2h+1}+\sqrt{2x+1}:
\frac{\sqrt{2x+2h+1}-\sqrt{2x+1}}{h}\cdot\frac{\sqrt{2x+2h+1}+\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+2h+1}+\sqrt{2x+1}}.
No numerador aparece a diferença de quadrados:
(\sqrt{2x+2h+1})^2-(\sqrt{2x+1})^2=(2x+2h+1)-(2x+1)=2h.
No denominador fica h\big(\sqrt{2x+2h+1}+\sqrt{2x+1}\big). Assim o quociente simplifica (para h\neq0) para
\frac{2h}{h\big(\sqrt{2x+2h+1}+\sqrt{2x+1}\big)}=\frac{2}{\sqrt{2x+2h+1}+\sqrt{2x+1}}.
Cancelamos h porque estamos interessados no limite quando h\to0 e estamos fora do caso h=0.

Passo 5

Agora calculamos o limite quando h\to0. A função \sqrt{\cdot} é contínua onde está definida, então podemos substituir h=0 diretamente na expressão simplificada:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{2}{\sqrt{2x+2h+1}+\sqrt{2x+1}}=\frac{2}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x+1}}=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}.
Essa substituição é válida quando \sqrt{2x+1} é positivo (ou, de modo geral, quando x>-{\tfrac{1}{2}}). Portanto para qualquer x>-\tfrac{1}{2} a derivada existe e vale o que obtivemos.

Passo 6

Análise do extremo do domínio: em x=-\tfrac{1}{2} temos f(x)=0. Se tentarmos aplicar a fórmula obtida, aparece divisão por zero, o que indica que a derivada não é finita ali. De fato, avaliando o quociente incremental em x=-\tfrac{1}{2} mostra que a inclinação tende a +\infty quando h\to0^+, então não existe derivada finita em x=-\tfrac{1}{2}. Conclusão: diferenciável em todo ponto interior do domínio x>-\tfrac{1}{2}, não diferenciável (no sentido de derivada finita) em x=-\tfrac{1}{2}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}},\quad x>-\tfrac{1}{2}.
Em x=-\tfrac{1}{2} a derivada não existe (tende ao infinito).

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