Questão 3. Calcule, a partir da definição, a derivada de
.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: a função é
. O pedido é calcular a derivada a partir da definição (ou seja, pelo quociente incremental). Informações importantes que vem do enunciado:
- A expressão dentro da raiz é
. - A função só está definida quando
, ou seja para . - Vamos aplicar a definição da derivada para pontos do domínio onde a derivada pode existir.
Passo 2
Escrevendo a definição da derivada em termos do incremento
:
Aqui
significa a derivada de
em um ponto fixo
(se o limite existir). A ideia é calcular esse limite usando a forma explícita de
.
Passo 3
Substituo
dentro do quociente:
Esse quociente tem a forma "diferença de raízes sobre
", que é indeterminada quando
. Para eliminar a indeterminação, uso a técnica de racionalizar o numerador.
Passo 4
Racionalizo o numerador multiplicando numerador e denominador pela conjugada
:
No numerador aparece a diferença de quadrados:
No denominador fica
. Assim o quociente simplifica (para
) para
Cancelamos
porque estamos interessados no limite quando
e estamos fora do caso
.
Passo 5
Agora calculamos o limite quando
. A função
é contínua onde está definida, então podemos substituir
diretamente na expressão simplificada:
Essa substituição é válida quando
é positivo (ou, de modo geral, quando
). Portanto para qualquer
a derivada existe e vale o que obtivemos.
Passo 6
Análise do extremo do domínio: em
temos
. Se tentarmos aplicar a fórmula obtida, aparece divisão por zero, o que indica que a derivada não é finita ali. De fato, avaliando o quociente incremental em
mostra que a inclinação tende a
quando
, então não existe derivada finita em
. Conclusão: diferenciável em todo ponto interior do domínio
, não diferenciável (no sentido de derivada finita) em
.
Resposta
Em
a derivada não existe (tende ao infinito).