Argumente graficamente o seguinte resultado: Se f é par, a integral é igual a duas vezes a integral
\int_{0}^{a} f(x) d x
enquanto que se f é ímpar, essa integral é nula.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx
com a>0. Pede-se um argumento gráfico para duas afirmações separadas:
Se f é par, mostrar que
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Se f é ímpar, mostrar que
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
As informações relevantes são apenas a integral sobre o intervalo simétrico [-a,a] e a definição de função par/ímpar (isso será usado nos passos seguintes).
Passo 2
Definições e interpretação gráfica (sem cálculos ainda).
Dizemos que f é par se, para todo x no domínio,
f(-x)=f(x).
Graficamente, isso significa que o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y (a parte à esquerda de y é o espelho da parte à direita).
Dizemos que f é ímpar se, para todo x no domínio,
f(-x)=-f(x).
Graficamente, isso significa que o gráfico de f é simétrico em relação à origem: o ponto (x,f(x)) corresponde ao ponto (-x,-f(x)).
Antes de integrar, lembre-se do significado geométrico da integral definida: \int_{p}^{q} f(x)\,dx é a “área algébrica” entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo [p,q]. Áreas acima do eixo x contam positivas; abaixo, negativas. Esse é o ponto que faz áreas se somarem ou se cancelarem.
Passo 3
Separação do intervalo simétrico em duas partes.
Usamos a propriedade aditiva da integral:
Note que aqui apenas trocámos o sinal da variável e ajustámos os limites — é uma técnica padrão para comparar integrais em intervalos simétricos. A variável de integração é dummy (não importa se chamamos de t ou x), então a expressão final pode ser lida como a relação entre a integral da parte esquerda e uma integral sobre [0,a] com a função avaliada em -t.
Passo 5
Caso 1 — f par.
Se f é par, então f(-t)=f(t) para todo t. Substituindo isso na expressão obtida:
Interpretação gráfica: como o gráfico é simétrico em relação ao eixo y, as áreas à esquerda e à direita do eixo y sobre [0,a] são iguais e positivas (ou ambas negativas, caso f esteja abaixo do eixo), por isso somam-se e dobram a contribuição da metade positiva.
Passo 6
Caso 2 — f ímpar.
Se f é ímpar, então f(-t)=-f(t). Voltando à expressão de I_{-}:
Interpretação gráfica: pela simetria em relação à origem, a área positiva de um lado é exatamente cancelada pela área negativa do outro lado; como a integral é área algébrica, os dois pedaços se anulam.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar (cálculos curtos que confirmam).
Esses cálculos numéricos confirmam os argumentos anteriores.
Passo 8
Conclusão final (resumo do argumento gráfico e analítico).
Para f par: a parte do intervalo [-a,0] contribui exatamente o mesmo que [0,a], então a integral total é o dobro da integral em [0,a].
Para f ímpar: a parte do intervalo [-a,0] contribui o negativo da contribuição de [0,a], então as duas partes se cancelam e a integral total vale zero.
Resposta
Se f é par: \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Se f é ímpar: \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.