Questão 4 Considere a seguinte integral:
\int_{-a}^{a} f(x) d x
Argumente graficamente o seguinte resultado: Se f é par, a integral é igual a duas vezes a integral
\int_{0}^{a} f(x) d x
enquanto que se f é ímpar, essa integral é nula.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx
com a>0. Pede-se um argumento gráfico para duas afirmações separadas:
  • Se f é par, mostrar que
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
  • Se f é ímpar, mostrar que
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
As informações relevantes são apenas a integral sobre o intervalo simétrico [-a,a] e a definição de função par/ímpar (isso será usado nos passos seguintes).

Passo 2

Definições e interpretação gráfica (sem cálculos ainda).
  • Dizemos que f é par se, para todo x no domínio,
f(-x)=f(x).
Graficamente, isso significa que o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y (a parte à esquerda de y é o espelho da parte à direita).
  • Dizemos que f é ímpar se, para todo x no domínio,
f(-x)=-f(x).
Graficamente, isso significa que o gráfico de f é simétrico em relação à origem: o ponto (x,f(x)) corresponde ao ponto (-x,-f(x)).
Antes de integrar, lembre-se do significado geométrico da integral definida: \int_{p}^{q} f(x)\,dx é a “área algébrica” entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo [p,q]. Áreas acima do eixo x contam positivas; abaixo, negativas. Esse é o ponto que faz áreas se somarem ou se cancelarem.

Passo 3

Separação do intervalo simétrico em duas partes.
Usamos a propriedade aditiva da integral:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Agora vamos relacionar \int_{-a}^{0} f(x)\,dx com \int_{0}^{a} f(x)\,dx usando uma mudança de variável simples que evidencia a simetria.

Passo 4

Mudança de variável (técnica que vamos usar).
Seja a integral
I_{-}=\int_{-a}^{0} f(x)\,dx.
faça a substituição x=-t. Então dx=-dt. Quando x=-a temos t=a; quando x=0 temos t=0. Substituindo:
I_{-}=\int_{t=a}^{t=0} f(-t)\,(-dt)=\int_{0}^{a} f(-t)\,dt.
Note que aqui apenas trocámos o sinal da variável e ajustámos os limites — é uma técnica padrão para comparar integrais em intervalos simétricos. A variável de integração é dummy (não importa se chamamos de t ou x), então a expressão final pode ser lida como a relação entre a integral da parte esquerda e uma integral sobre [0,a] com a função avaliada em -t.

Passo 5

Caso 1 — f par.
Se f é par, então f(-t)=f(t) para todo t. Substituindo isso na expressão obtida:
I_{-}=\int_{0}^{a} f(-t)\,dt=\int_{0}^{a} f(t)\,dt.
Portanto
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \underbrace{\int_{-a}^{0} f(x)\,dx}_{I_{-}} + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx =2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Interpretação gráfica: como o gráfico é simétrico em relação ao eixo y, as áreas à esquerda e à direita do eixo y sobre [0,a] são iguais e positivas (ou ambas negativas, caso f esteja abaixo do eixo), por isso somam-se e dobram a contribuição da metade positiva.

Passo 6

Caso 2 — f ímpar.
Se f é ímpar, então f(-t)=-f(t). Voltando à expressão de I_{-}:
I_{-}=\int_{0}^{a} f(-t)\,dt=\int_{0}^{a} \bigl(-f(t)\bigr)\,dt = -\int_{0}^{a} f(t)\,dt.
Assim
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = I_{-} + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = -\int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = 0.
Interpretação gráfica: pela simetria em relação à origem, a área positiva de um lado é exatamente cancelada pela área negativa do outro lado; como a integral é área algébrica, os dois pedaços se anulam.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar (cálculos curtos que confirmam).
  • Função par: f(x)=x^{2}. Então
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 2\cdot\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
  • Função ímpar: f(x)=x^{3}. Então
\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0.
Esses cálculos numéricos confirmam os argumentos anteriores.

Passo 8

Conclusão final (resumo do argumento gráfico e analítico).
  • Para f par: a parte do intervalo [-a,0] contribui exatamente o mesmo que [0,a], então a integral total é o dobro da integral em [0,a].
  • Para f ímpar: a parte do intervalo [-a,0] contribui o negativo da contribuição de [0,a], então as duas partes se cancelam e a integral total vale zero.

Resposta

Se f é par: \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Se f é ímpar: \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.

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