Para as questões abaixo, x] representa o maior inteiro menor ou igual a \[x\). Seja \(f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \[f(x)= \begin{cases}x+[x], & \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ 0, & \text { se } x \notin \mathbb{Q}\end{cases}
Mostre que f\] não é integrável em \([0,2].]

Passo 1

O enunciado dá a função f:[0,2]\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x)=\begin{cases}x+[x], & \text{se } x\in\mathbb{Q},\\[4pt] 0, & \text{se } x\notin\mathbb{Q}, \end{cases}
onde [x]\] é o maior inteiro menor ou igual a \(x (o “floor”). No intervalo [0,2] temos explicitamente:
  • para x\in[0,1) vale [x]=0, logo x+[x]=x;
  • para x\in[1,2) vale [x]=1, logo x+[x]=x+1;
  • em x=2 temos [2]=2 (valor em um ponto isolado não altera integrabilidade).
O que nos pedem: mostrar que f não é integrável em [0,2] (no sentido de Riemann / Darboux).]

Passo 2

Vou lembrar duas coisas importantes (bem devagar, como prometi):
Definições de somas de Darboux (idéia usada para integrabilidade):
  • Para uma partição P de [0,2] e para cada subintervalo I da partição, defina \inf_{I} f e \sup_{I} f.
  • A soma inferior L(f,P) é \sum (\inf_{I} f)\cdot |I|.
  • A soma superior U(f,P) é \sum (\sup_{I} f)\cdot |I|.
  • O limite superior (ou integral superior) é \overline{\int_{0}^{2}} f = \inf_{P} U(f,P).
  • O limite inferior (ou integral inferior) é \underline{\int_{0}^{2}} f = \sup_{P} L(f,P).
  • A função é integrável se, e só se, \underline{\int_{0}^{2}} f = \overline{\int_{0}^{2}} f.
Outra propriedade crucial: os racionais e os irracionais são densos em \mathbb{R}. Isso significa que qualquer intervalo aberto em \mathbb{R} contém tanto racionais quanto irracionais.
Usando isso, analiso \inf_{I} f em qualquer subintervalo I\subset[0,2]. Como I contém irracionais, e para irracionais f=0, segue que
\inf_{I} f = 0
para qualquer subintervalo I (não importa quão pequeno). Portanto, para qualquer partição P,
L(f,P)=\sum (\inf_{I} f)\cdot |I| = \sum 0\cdot |I| = 0.
Assim a integral inferior é
\underline{\int_{0}^{2}} f = \sup_{P} L(f,P) = 0.

Passo 3

Agora vamos estudar \sup_{I} f. Para controlar os supremos, é útil comparar f com a função (bem mais simples) definida em todos os pontos:
h(x) := x+[x],\qquad x\in[0,2].
Note que h coincide com os valores que f assume nos racionais (porque para racionais f(x)=x+[x]). A ideia: como os racionais são densos, a \sup de f em um intervalo I (que considera apenas valores de f em racionais e irracionais) será igual à \sup de h em I. Vou justificar isso com calma.
Observação sobre h:
  • Em [0,1) temos h(x)=x, que é contínua.
  • Em [1,2) temos h(x)=x+1, que é contínua.
  • Em x=1 há uma descontinuidade (salto): \lim_{x\to1^-} h(x)=1 e \lim_{x\to1^+} h(x)=2. (Um ponto só; não é problema agora.)
Justificativa de que \sup_{I} f = \sup_{I} h para qualquer subintervalo I:
  • Se I está contido inteiramente em [0,1) (ou inteiramente em [1,2)), então h é contínua em I. Pela densidade dos racionais, para qualquer ponto y\in I existe uma sequência racional em I que converge para y; assim os valores f em racionais aproximam h(y). Logo o supremo dos valores f em I (que é supremum sobre racionais e irracionais) coincide com o supremo de h em I (que é supremum de h sobre todos os pontos).
  • Se I contém o ponto 1, então I se divide em duas porções à esquerda e à direita de 1. O supremo de h em I é o máximo entre o supremo em I\cap[0,1) e em I\cap[1,2); em cada uma dessas porções a densidade dos racionais garante que o supremo de f coincide com o supremo de h. Portanto \sup_{I} f=\sup_{I} h também nesse caso.
Concluímos assim que, para qualquer subintervalo I\subset[0,2],
\sup_{I} f = \sup_{I} h.

Passo 4

A igualdade anterior implica que, para qualquer partição P,
U(f,P)=\sum (\sup_{I} f)\cdot |I| = \sum (\sup_{I} h)\cdot |I| = U(h,P).
Portanto a integral superior de f coincide com a integral superior de h:
\overline{\int_{0}^{2}} f = \inf_{P} U(f,P) = \inf_{P} U(h,P) = \overline{\int_{0}^{2}} h.
Mas h é uma função simples, contínua em [0,1) e em [1,2) com apenas um ponto de descontinuidade (em x=1). Funções com um número finito de descontinuidades são integráveis; logo h é integrável em [0,2] e a integral (Riemann) de h é igual à sua integral superior (e inferior). Portanto
\overline{\int_{0}^{2}} f = \int_{0}^{2} h(x)\,dx.

Passo 5

Calculo explícito da integral de h. Usando a decomposição em pedaços:
\int_{0}^{2} h(x)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx + \int_{1}^{2} (x+1)\,dx.
Calcule passo a passo:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}.
\int_{1}^{2} (x+1)\,dx = \int_{1}^{2} x\,dx + \int_{1}^{2} 1\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2} + [x]_{1}^{2} = \left(\tfrac{4}{2}-\tfrac{1}{2}\right) + (2-1) = \tfrac{3}{2} + 1 = \tfrac{5}{2}.
Somando,
\int_{0}^{2} h(x)\,dx = \tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{2} = 3.
Portanto \overline{\int_{0}^{2}} f = 3.

Passo 6

Recapitulando:
  • Encontramos \underline{\int_{0}^{2}} f = 0 (porque em qualquer subintervalo há irracionais com valor 0, logo todas as somas inferiores são 0).
  • Encontramos \overline{\int_{0}^{2}} f = 3.
Como os dois valores não coincidem ( 0 \neq 3), a condição necessária e suficiente para integrabilidade falha. Conclusão: f não é integrável em [0,2].
Força aí — essa é uma construção clássica: a presença de valores “muito diferentes” nos racionais e nos irracionais (com ambos densos) cria uma oscilação que impede que as somas superior e inferior se encontrem.

Resposta

A função f não é integrável em [0,2].

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