Por que usar expansão em autovetores (ideia geral do método) — explicação didática:
Para problemas lineares com condições homogêneas nas fronteiras (aqui u_x=0), uma técnica padrão é expandir a solução em séries de modos que respeitam as condições de contorno (autofunções do operador espacial).
Esses modos são as funções \cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) (e a constante) para condições Neumann em [0,L]. Cada modo decai exponencialmente no tempo com taxa dada pelo autovalor.
Assim esperamos uma solução da formau(x,t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-\lambda_n t}\cos\!\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big),onde será determinado A_0,\;A_n,\;\lambda_n a partir do problema e da condição inicial f(x).
Vamos construir isso passo a passo, mostrando de onde vêm os autovalores e como calcular os coeficientes A_n.
Passo 3
Separação de variáveis e resolução do problema de autovalores (detalhado):
Suponha u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo em u_{t}=u_{xx} obtemosX(x)T'(t)=X''(x)T(t)\quad\Rightarrow\quad \frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,onde \lambda é constante de separação.
Isso gera dois problemas:T'(t)=-\lambda T(t),\qquad X''(x)+\lambda X(x)=0,com as condições de contorno X'(0)=0,\;X'(L)=0 com L=20.
Resolver o problema espacial X''+\lambda X=0 com Neumann:
Caso \lambda=0: solução é X(x)=C (constante). É aceitável e satisfaz X'(0)=X'(L)=0. Esse modo corresponde ao estado constante.
Caso \lambda>0: escreva \lambda=k^2. As soluções são combinações de seno e cosseno. As condições de Neumann implicam X(x)=\cos(kx) com k tal que X'(L)=0\Rightarrow -k\sin(kL)=0. Para \sin(kL)=0 temos kL=n\pi com n\in\mathbb{Z}. Tomamos n\ge1.
Entãok=\frac{n\pi}{L},\qquad \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\qquad X_n(x)=\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\;n=1,2,\dots
O modo constante corresponde a n=0 com \lambda_0=0 e X_0(x)=1.
As equações do tempo dão T_n(t)=e^{-\lambda_n t} (até constantes multiplicativas absorvidas nos coeficientes).
Conclusão: a solução geral em série de Fourier-cossenos éu(x,t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-(\frac{n\pi}{L})^2 t}\cos\!\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big).Aqui A_0 e A_n são determinados pela condição inicial u(x,0)=f(x).
Passo 4
Fórmulas para os coeficientes (ortogonalidade e como calcular) — explicação didática:
As funções \{1,\cos(\tfrac{n\pi x}{L}),n\ge1\} são ortogonais em [0,L] com produto interno \int_0^L g(x)h(x)\,dx.
As fórmulas padrão para a série de cossenos em [0,L] são:A_0=\frac{1}{L}\int_0^L f(x)\,dx, \qquad A_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\!\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)\,dx,\; n\ge1.(Explicação curta: A_0 é a média; os A_n vêm da ortogonalidade e do fator 2/L padrão na série cosseno.)
Vamos calcular A_0 e A_n explicitamente para o f(x) dado.
Passo 5
Cálculo de A_0 (média da condição inicial) — contas sem pular etapas:
Calcular a integral de f em [0,20] usando a definição peça a peça:\int_0^{20} f(x)\,dx=\int_0^{10} x\,dx+\int_{10}^{20} 10\,dx.
Primeiro termo:\int_0^{10} x\,dx=\frac{1}{2}\,10^2=50.
Segundo termo:\int_{10}^{20} 10\,dx=10\cdot(20-10)=10\cdot10=100.
Observação prática: \cos\!\tfrac{n\pi}{2}-1 vale 0 quando n é múltiplo de 4, vale -1 quando n\equiv1,3\pmod 4 e vale -2 quando n\equiv2\pmod 4. Assim muitos termos têm sinais e valores simples.
Passo 7
Escrevendo a solução completa e comentário sobre convergência:
Substituindo A_0 e A_n na série geral com L=20 (portanto \lambda_n=(\tfrac{n\pi}{20})^2) obtemos a solução do problema:u(x,t)=\frac{15}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{40\big(\cos\!\tfrac{n\pi}{2}-1\big)}{n^2\pi^2}\, e^{-\left(\frac{n\pi}{20}\right)^2 t}\cos\!\Big(\frac{n\pi x}{20}\Big).
Essa série converge (coeficientes decaem como 1/n^2 e os expoentes temporais atenuam os termos para t>0), e satisfaz a condição inicial em sentido de série de Fourier-cossenos.
Passo 8
Limite quando t\to\infty (intuição física e cálculo):
Para cada n\ge1 temos um fator e^{-(\frac{n\pi}{20})^2 t} que tende a zero quando t\to\infty.
Interpretação física: com extremidades isoladas a energia total (integral de u) é conservada, e a solução tende uniformemente ao valor médio da condição inicial sobre a barra.