O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição
transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de
por
fornece a solução da equação original.
Mostre que a equação dada é homogênea.
Resolva a equação diferencial.
Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
Mostre que a equação dada é homogênea.
Resolva a equação diferencial.
Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede três coisas:
- Mostrar que a equação é homogênea.
- Resolver a equação diferencial (achar a família de soluções).
- Desenhar um campo de direções e algumas curvas integrais e responder se elas são simétricas em relação à origem.
Informações relevantes fornecidas:
- O membro direito é
, uma razão entre duas expressões lineares em e . - Não há condições iniciais; espera-se a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Mostrar que a equação é homogênea (explicação didática).
- Uma função
é homogênea de grau zero se ao multiplicar por um escalar o valor não muda, isto é, . Para funções racionais onde numerador e denominador são polinômios, uma maneira prática é verificar se numerador e denominador são homogêneos do mesmo grau. - Aqui o numerador
e o denominador são ambos polinômios homogêneos de grau (cada termo é do tipo constante vezes ou ). Assim a razão é uma função homogênea de grau . - Conclusão: a equação é homogênea porque o membro direito depende apenas da razão
(ou de ) — isto é, é função de apenas.
Passo 3
Escolha do método e a substituição (aula prática).
- Pelo fato de a equação ser homogênea, usamos a substituição padrão
, onde representa . - Por que isso ajuda? Porque para funções homogêneas de grau zero o membro direito pode ser escrito só em termos de
, e a equação se torna separável em e . - Regra útil: se
então
(Explicação rápida: derivando
com a regra do produto:
.)
Passo 4
Substituir
na equação e simplificar.
- Substituição direta:
- Simplificar os fatores em
no lado direito (dividindo numerador e denominador por , que é permitido para ):
- Isolar
:
- Colocar num denominador comum:
- Observação fatoração:
. Assim obtém-se
Passo 5
Separar variáveis e integrar (explicando cada passo).
- Reescrever para separar
e :
(Verificação: multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
dá a forma separada.)
- Agora integramos os dois lados. À esquerda usamos frações parciais. Procuramos constantes
tais que
- Encontrando
e :
Comparando coeficientes:
(coeficiente de
) e
(termos constantes). Subtraindo:
, então
,
.
- Assim
- Integrando ambos os lados:
- Integrais:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Isolar a solução geral de forma implícita e voltar para
.
- Multiplicando por
:
- Reescrevendo como produto (exponenciando):
- Removendo as barras e reunindo a constante arbitrária em uma
(pode ser qualquer real não nulo, e é caso especial), e lembrando que , temos:
- Multiplicando ambos os lados por
(para obter uma forma polinomial mais simples):
Essa é a solução geral implícita, com
constante arbitrária real.
Passo 7
Soluções especiais em destaque (retas integrais) e comportamento singular.
- As retas
e aparecem naturalmente: se então e da equação separada , logo constante e é solução. Verificação direta: para , e o membro direito é , compatível. - Para
(isto é ) também é solução, verificação análoga. - Ambas correspondem a
na forma . - A linha
(ou ) não dá uma solução válida porque faz o denominador do membro direito zero; é onde o campo de direções tem tangentes verticalmente indefinidas (singularidade do campo), não uma solução regular.
Passo 8
Desenho do campo de direções e discussão de simetria (conceito e conclusão).
- Campo de direções: em cada ponto
o segmento tem inclinação . Por ser homogêneo (função de ), o padrão de inclinações é igual ao longo de todas as retas por origem: pontos com a mesma razão têm a mesma inclinação. - Simetria do campo: calcule
:
Portanto
: o campo de direções é invariante pela rotação de
em torno da origem (simetria central).
- Simetria das curvas integrais: a transformação
leva a expressão em
Logo a curva correspondente a uma constante
é levada para a curva correspondente a
. Conclusão: o campo é simétrico em relação à origem; as curvas integrais não são, em geral, simétricas individualmente em torno da origem, mas vêm em pares relacionadas por rotação de
: a curva para
corresponde à curva para
rotacionada em
. Exceção: a curva com
(as retas
e
) é invariante sob essa rotação, portanto é simétrica com respeito à origem.
Resposta
A equação é homogênea.
A solução geral implícita é , com
constante real.
O campo de direções é simétrico em relação à origem; as curvas integrais não são, em geral, simétricas individualmente, mas cada curva de constante corresponde à curva de constante
obtida por rotação de
(as retas
e
— caso
— são simétricas).
A solução geral implícita é
O campo de direções é simétrico em relação à origem; as curvas integrais não são, em geral, simétricas individualmente, mas cada curva de constante