O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original.
Mostre que a equação dada é homogênea.
Resolva a equação diferencial.
Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
\frac{d y}{d x}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=-\frac{4x+3y}{2x+y},
e pede três coisas:
  • Mostrar que a equação é homogênea.
  • Resolver a equação diferencial (achar a família de soluções).
  • Desenhar um campo de direções e algumas curvas integrais e responder se elas são simétricas em relação à origem.
Informações relevantes fornecidas:
  • O membro direito é -\dfrac{4x+3y}{2x+y}, uma razão entre duas expressões lineares em x e y.
  • Não há condições iniciais; espera-se a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Mostrar que a equação é homogênea (explicação didática).
  • Uma função F(x,y) é homogênea de grau zero se ao multiplicar (x,y) por um escalar t o valor não muda, isto é, F(tx,ty)=F(x,y). Para funções racionais onde numerador e denominador são polinômios, uma maneira prática é verificar se numerador e denominador são homogêneos do mesmo grau.
  • Aqui o numerador 4x+3y e o denominador 2x+y são ambos polinômios homogêneos de grau 1 (cada termo é do tipo constante vezes x ou y). Assim a razão \dfrac{4x+3y}{2x+y} é uma função homogênea de grau 0.
  • Conclusão: a equação é homogênea porque o membro direito depende apenas da razão y/x (ou de x/y) — isto é, é função de y/x apenas.

Passo 3

Escolha do método e a substituição (aula prática).
  • Pelo fato de a equação ser homogênea, usamos a substituição padrão \displaystyle y = x\,v(x), onde v(x) representa y/x.
  • Por que isso ajuda? Porque para funções homogêneas de grau zero o membro direito pode ser escrito só em termos de v, e a equação se torna separável em v e x.
  • Regra útil: se y = x v(x) então
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
(Explicação rápida: derivando y=xv(x) com a regra do produto: y' = 1\cdot v + x\cdot v'.)

Passo 4

Substituir y = x v na equação e simplificar.
  • Substituição direta:
v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{4x + 3(xv)}{2x + xv}.
  • Simplificar os fatores em x no lado direito (dividindo numerador e denominador por x, que é permitido para x\neq0):
v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{4 + 3v}{2 + v}.
  • Isolar x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{4+3v}{2+v} - v.
  • Colocar num denominador comum:
-\frac{4+3v}{2+v} - v = -\frac{4+3v + v(2+v)}{2+v} = -\frac{4+3v +2v + v^2}{2+v} = -\frac{v^2+5v+4}{v+2}.
  • Observação fatoração: v^2+5v+4=(v+1)(v+4). Assim obtém-se
x\frac{dv}{dx} = -\frac{(v+1)(v+4)}{v+2}.

Passo 5

Separar variáveis e integrar (explicando cada passo).
  • Reescrever para separar v e x:
\frac{v+2}{(v+1)(v+4)}\,dv = -\frac{dx}{x}.
(Verificação: multiplicando ambos os lados por (v+2)/[(v+1)(v+4)] e dividindo por x dá a forma separada.)
  • Agora integramos os dois lados. À esquerda usamos frações parciais. Procuramos constantes A,B tais que
\frac{v+2}{(v+1)(v+4)}=\frac{A}{v+1}+\frac{B}{v+4}.
  • Encontrando A e B:
A(v+4)+B(v+1)=v+2.
Comparando coeficientes: A+B=1 (coeficiente de v) e 4A+B=2 (termos constantes). Subtraindo: 3A=1, então A=\tfrac{1}{3}, B=1-A=\tfrac{2}{3}.
  • Assim
\frac{v+2}{(v+1)(v+4)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{v+1}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{v+4}.
  • Integrando ambos os lados:
\int\!\left(\frac{1}{3}\frac{1}{v+1}+\frac{2}{3}\frac{1}{v+4}\right)dv = \int\!- \frac{dx}{x}.
  • Integrais:
\frac{1}{3}\ln|v+1|+\frac{2}{3}\ln|v+4| = -\ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolar a solução geral de forma implícita e voltar para y.
  • Multiplicando por 3:
\ln|v+1| + 2\ln|v+4| = -3\ln|x| + C_1.
  • Reescrevendo como produto (exponenciando):
|v+1|\,|v+4|^{2} = C_2\,|x|^{-3}.
  • Removendo as barras e reunindo a constante arbitrária em uma C (pode ser qualquer real não nulo, e C=0 é caso especial), e lembrando que v=y/x, temos:
\left(\frac{y}{x}+1\right)\left(\frac{y}{x}+4\right)^{2} = C x^{-3}.
  • Multiplicando ambos os lados por x^3 (para obter uma forma polinomial mais simples):
(y+x)(y+4x)^{2} = C.
Essa é a solução geral implícita, com C constante arbitrária real.

Passo 7

Soluções especiais em destaque (retas integrais) e comportamento singular.
  • As retas y=-x e y=-4x aparecem naturalmente: se y=-x então v=-1 e da equação separada dv/dx=0, logo v constante e y=-x é solução. Verificação direta: para y=-x, dy/dx=-1 e o membro direito é -\dfrac{4x+3(-x)}{2x+(-x)}=-1, compatível.
  • Para y=-4x (isto é v=-4) também é solução, verificação análoga.
  • Ambas correspondem a C=0 na forma (y+x)(y+4x)^2=C.
  • A linha 2x+y=0 (ou v=-2) não dá uma solução válida porque faz o denominador do membro direito zero; é onde o campo de direções tem tangentes verticalmente indefinidas (singularidade do campo), não uma solução regular.

Passo 8

Desenho do campo de direções e discussão de simetria (conceito e conclusão).
  • Campo de direções: em cada ponto (x,y) o segmento tem inclinação f(x,y)=-\dfrac{4x+3y}{2x+y}. Por ser homogêneo (função de y/x), o padrão de inclinações é igual ao longo de todas as retas por origem: pontos com a mesma razão y/x têm a mesma inclinação.
  • Simetria do campo: calcule f(-x,-y):
f(-x,-y) = -\frac{4(-x)+3(-y)}{2(-x)+(-y)} = -\frac{-4x-3y}{-2x-y} = -\frac{-(4x+3y)}{-(2x+y)} = -\frac{4x+3y}{2x+y} = f(x,y).
Portanto f(-x,-y)=f(x,y): o campo de direções é invariante pela rotação de 180^\circ em torno da origem (simetria central).
  • Simetria das curvas integrais: a transformação (x,y)\mapsto(-x,-y) leva a expressão (y+x)(y+4x)^2 em
(-y - x)(-y - 4x)^2 = -(y+x)(y+4x)^2.
Logo a curva correspondente a uma constante C é levada para a curva correspondente a -C. Conclusão: o campo é simétrico em relação à origem; as curvas integrais não são, em geral, simétricas individualmente em torno da origem, mas vêm em pares relacionadas por rotação de 180^\circ: a curva para C corresponde à curva para -C rotacionada em 180^\circ. Exceção: a curva com C=0 (as retas y=-x e y=-4x) é invariante sob essa rotação, portanto é simétrica com respeito à origem.

Resposta

A equação é homogênea.
A solução geral implícita é (y+x)(y+4x)^{2}=C, com C constante real.
O campo de direções é simétrico em relação à origem; as curvas integrais não são, em geral, simétricas individualmente, mas cada curva de constante C corresponde à curva de constante -C obtida por rotação de 180^\circ (as retas y=-x e y=-4x — caso C=0 — são simétricas).

Exercícios relacionados