Questão 7. Considere as seguintes séries:
(ii) sumn=3^infty raizn^3-4 n^2+5 n-2(1-cos (1n^2)),
Assinale a alternativa correta.
(i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
B (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
C (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
E (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma série infinita para analisar:
sumn=3^infty raizn^3-4 n^2+5 n-2(1-cos (1n^2))
O objetivo aqui é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de matemática de séries, principalmente o Teste da Comparação e algumas aproximações de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os termos da série. Temos duas partes principais:
  1. raizn^3-4 n^2+5 n-2
  2. 1 - cos(1n^2)
Vamos analisar cada uma separadamente.

Passo 3

Vamos simplificar a primeira parte: raizn^3-4 n^2+5 n-2.
Para n grande, os termos de maior grau dominam. Então,
n^3 - 4n^2 + 5n - 2 approx n^3
Logo,
raizn^3-4n^2+5n-2 approx raizn^3 = n^32

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda parte: 1 - cos(1n^2).
Para valores pequenos de x, sabemos que:
1 - cos(x) approx x^22
Aqui, x = 1n^2, que é bem pequeno para n grande. Então,
1 - cos(1n^2) approx 12 (1n^2)^2 = 12n^4

Passo 5

Agora, juntando as duas aproximações:
raizn^3-4n^2+5n-2 cdot (1 - cos(1n^2)) approx n^32 cdot 12n^4 = 12n^52

Passo 6

Agora, a série original se comporta aproximadamente como:
sumn=3^infty 12n^52
Podemos simplificar retirando a constante:
12 sumn=3^infty 1n^52

Passo 7

Sabemos que a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} $ converge se $ p > 1 $. Aqui, $ p = \frac{5}{2} = 2.5 $, que é maior que 1. Portanto,
sumn=1^infty 1n^p
Converge.

Passo 8

Como a série comparada converge e a nossa série original é menor ou proporcional a ela, pelo Teste da Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série sumn=3^infty raizn^3-4 n^2+5 n-2(1-cos (1n^2)) converge.

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