Questão 7. Considere as seguintes séries:
(ii)
,
Assinale a alternativa correta.
(i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
B (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
C (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
E (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
(ii)
Assinale a alternativa correta.
(i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
B (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
C (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
E (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma série infinita para analisar:
O objetivo aqui é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de matemática de séries, principalmente o Teste da Comparação e algumas aproximações de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os termos da série. Temos duas partes principais:
Vamos analisar cada uma separadamente.
Passo 3
Vamos simplificar a primeira parte:
.
Para
grande, os termos de maior grau dominam. Então,
Logo,
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda parte:
.
Para valores pequenos de
, sabemos que:
Aqui,
, que é bem pequeno para
grande. Então,
Passo 5
Agora, juntando as duas aproximações:
Passo 6
Agora, a série original se comporta aproximadamente como:
Podemos simplificar retirando a constante:
Passo 7
Sabemos que a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} $ converge se $ p > 1 $. Aqui, $ p = \frac{5}{2} = 2.5 $, que é maior que 1. Portanto,
Converge.
Passo 8
Como a série comparada converge e a nossa série original é menor ou proporcional a ela, pelo Teste da Comparação, a série original também converge.
Resposta
A série
converge.