QUESTÃO 2 - Considere a sequência definida por:
z_{n}=\left(\frac{1+i}{n}\right)^{n}
a) Determine se a sequência converge ou diverge. Caso seja convergente, qual o limite da sequência?

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
z_{n} = \left(\frac{1+i}{n}\right)^{n}
e pede para decidir se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite. O conteúdo envolve limites de sequências complexas e o critério de convergência via módulo.

Passo 2

Vamos calcular o módulo de z_{n}. Como |1+i|=\sqrt{2}, temos
|z_{n}| = \left|\frac{1+i}{n}\right|^{n} = \frac{|1+i|^{n}}{n^{n}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{n}\right)^{n} = \exp\bigl(n\ln(\tfrac{\sqrt{2}}{n})\bigr).

Passo 3

Para n\to\infty vale \ln(\tfrac{\sqrt{2}}{n}) = \ln\sqrt{2} - \ln n\sim -\ln n, portanto
n\ln\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{n}\bigr)\to -\infty \quad\Longrightarrow\quad |z_{n}|\to 0.
Em sequências complexas, se |z_{n}-L|\to 0 então z_{n}\to L; aqui L=0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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