QUESTÃO 3 - Considere a série de potência definida por:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^{n}}{n!}
Onde z \in \mathbb{C}.
a) Qual o raio de convergência da série?
b) Para quais valores de z a série converge absolutamente?

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potência centrada em z_{0}=1:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-1)^{n}}{n!}.
O que a questão pede é (a) o raio de convergência R e (b) para quais z\in\mathbb{C} a série converge absolutamente. Para isso vamos usar o teste da razão, que é padrão para achar raio de séries de potência.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
a_{n} = \frac{(z-1)^{n}}{n!}.
Aplicamos o teste da razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \left|\frac{(z-1)^{n+1}/(n+1)!}{(z-1)^{n}/n!}\right| = \frac{|z-1|}{n+1}.
Agora fazemos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|z-1|}{n+1} = 0.

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| < 1.
Aqui o limite é 0, que é menor que 1 para todo z. Isso significa que não há restrição sobre |z-1|, logo o raio de convergência é
R = \infty.

Passo 4

Como o teste da razão mostra convergência (e na verdade convergência absoluta) para qualquer z\in\mathbb{C}, concluímos que a série converge absolutamente em todo o plano complexo.

Resposta

(a) R = \infty.
(b) A série converge absolutamente para todo z\in\mathbb{C}.

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