QUESTÃO 3 - Considere a série de potência definida por:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^{n}}{n!}
Onde z \in \mathbb{C}.
a) Qual o raio de convergência da série?
b) Para quais valores de z a série converge absolutamente?
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potência centrada em z_{0}=1:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-1)^{n}}{n!}.
O que a questão pede é (a) o raio de convergência R e (b) para quais z\in\mathbb{C} a série converge absolutamente. Para isso vamos usar o teste da razão, que é padrão para achar raio de séries de potência.
Aqui o limite é 0, que é menor que 1 para todoz. Isso significa que não há restrição sobre |z-1|, logo o raio de convergência é
R = \infty.
Passo 4
Como o teste da razão mostra convergência (e na verdade convergência absoluta) para qualquer z\in\mathbb{C}, concluímos que a série converge absolutamente em todo o plano complexo.
Resposta
(a) R = \infty.
(b) A série converge absolutamente para todo z\in\mathbb{C}.