Questão 1. ( 1.5 pt) Considere o sistema de equações lineares abaixo
\left\{\begin{aligned} x_{1}-x_{2}+2 x_{3} & =3 \\\ x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =-3 \\\\ 2 x_{2}-2 x_{3} & =1 \end{aligned}\right.
Este sistema possui solução úrica, infinitas soluções ou nenhuma? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede para decidir se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma. As equações fornecidas são:
\begin{aligned} x_{1}-x_{2}+2x_{3} &= 3,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}-x_{3} &= -3,\\[4pt] 2x_{2}-2x_{3} &= 1. \end{aligned}
O que se pede: classificar o sistema em uma das três possibilidades (única, infinitas, nenhuma) e justificar a resposta.]

Passo 2

Vou usar eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares em linhas) porque é um método direto e elementar para verificar consistência e encontrar soluções de sistemas lineares.
Breve lembrete didático sobre eliminação de Gauss e operações permitidas:
  • Representa-se o sistema pela matriz aumentada [A\mid b], onde A é a matriz dos coeficientes e b o vetor de termos independentes.
  • Permitem-se três tipos de operações nas linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, e somar à uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • Se durante o processo aparecer uma linha cujo lado dos coeficientes é todo zero e o termo independente é não zero, isto é uma contradição do tipo 0= c com c\neq0, o sistema é inconsistente e não tem solução.
  • Outra forma de decidir: comparar o posto (rank) da matriz A e o posto da matriz aumentada [A\mid b]. Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=n (com n o número de incógnitas) existe solução única; se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])<n existem infinitas soluções; se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid b]) não há solução.

Passo 3

Formo a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 2 & -1 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -2 & 1 \end{array}\right].
Explicação: a terceira equação não tem x_{1}, por isso o primeiro elemento da terceira linha é 0.]

Passo 4

Elimino x_{1} na segunda equação subtraindo a primeira da segunda. Escrevo a operação e a matriz resultante:
R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 3 & -3 & -6\\[4pt] 0 & 2 & -2 & 1 \end{array}\right].
Justificativa: essa operação zera o coeficiente de x_{1} na segunda linha, facilitando a eliminação subsequente.]

Passo 5

Simplifico a segunda linha dividindo-a por 3 para tornar os números mais simples:
R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{3}R_{2}
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 2 & -2 & 1 \end{array}\right].
Agora a segunda linha corresponde à equação 0\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}-1\cdot x_{3}=-2, isto é, x_{2}-x_{3}=-2.]

Passo 6

Elimino o coeficiente de x_{2} na terceira linha usando a segunda linha: faço R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{2}. Calculando:
R_{3}-2R_{2} = \bigl(0,\;2,\;-2\;|\;1\bigr) - 2\bigl(0,\;1,\;-1\;|\;-2\bigr) = \bigl(0,\;0,\;0\;|\;1 - 2(-2)\bigr).
O termo do lado direito fica 1-2(-2)=1+4=5. Assim a matriz vira
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretação do resultado: a terceira linha representa a equação
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=5,
ou seja, 0=5, que é uma contradição. Isso significa que não existe nenhum triplo (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça simultaneamente todas as três equações — o sistema é inconsistente.
Explicação via posto (rank), para fixar o conceito: após a redução, a matriz dos coeficientes A tem duas linhas não nulas (as duas primeiras), logo \operatorname{rank}(A)=2. A matriz aumentada [A\mid b] tem a terceira linha não-nula (porque o termo independente é 5), logo \operatorname{rank}([A\mid b])=3. Como \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid b]), pelo critério de Rouché–Capelli o sistema não tem solução.

Passo 8

Resumo final e motivação curta (um empurrãozinho): sempre que na eliminação aparece uma linha com todos os coeficientes zero e termo independente não zero, pode-se parar — é prova imediata de incompatibilidade. Isso economiza tempo na prova.

Resposta

Nenhuma solução.

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