Este sistema possui solução úrica, infinitas soluções ou nenhuma? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede para decidir se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma. As equações fornecidas são:
O que se pede: classificar o sistema em uma das três possibilidades (única, infinitas, nenhuma) e justificar a resposta.]
Passo 2
Vou usar eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares em linhas) porque é um método direto e elementar para verificar consistência e encontrar soluções de sistemas lineares.
Breve lembrete didático sobre eliminação de Gauss e operações permitidas:
Representa-se o sistema pela matriz aumentada [A\mid b], onde A é a matriz dos coeficientes e b o vetor de termos independentes.
Permitem-se três tipos de operações nas linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, e somar à uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
Se durante o processo aparecer uma linha cujo lado dos coeficientes é todo zero e o termo independente é não zero, isto é uma contradição do tipo 0= c com c\neq0, o sistema é inconsistente e não tem solução.
Outra forma de decidir: comparar o posto (rank) da matriz A e o posto da matriz aumentada [A\mid b]. Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=n (com n o número de incógnitas) existe solução única; se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])<n existem infinitas soluções; se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid b]) não há solução.
Passo 3
Formo a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação):
Interpretação do resultado: a terceira linha representa a equação
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=5,
ou seja, 0=5, que é uma contradição. Isso significa que não existe nenhum triplo (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça simultaneamente todas as três equações — o sistema é inconsistente.
Explicação via posto (rank), para fixar o conceito: após a redução, a matriz dos coeficientes A tem duas linhas não nulas (as duas primeiras), logo \operatorname{rank}(A)=2. A matriz aumentada [A\mid b] tem a terceira linha não-nula (porque o termo independente é 5), logo \operatorname{rank}([A\mid b])=3. Como \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid b]), pelo critério de Rouché–Capelli o sistema não tem solução.
Passo 8
Resumo final e motivação curta (um empurrãozinho): sempre que na eliminação aparece uma linha com todos os coeficientes zero e termo independente não zero, pode-se parar — é prova imediata de incompatibilidade. Isso economiza tempo na prova.