a) Determine a solução geral para o sistema homogêneo. No caso de autovalores complexos, determine as soluções reais correspondentes.
b) Para o sistema não-homogêneo proponha uma solução particular usando coeficientes indeterminados. A seguir, obtenha o sistema de equações diferenciais que deve ser resolvido para obter os vetores de constantes. (NÃO RESOLVA O SISTEMA)
(a) Determinar a solução geral do sistema homogêneo associado, ou seja da equação \frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x} (onde \mathbf{x}=(x_{1},x_{2})^{T} e A é a matriz do sistema). Se aparecerem autovalores complexos, obter as soluções reais correspondentes.
(b) Para o sistema não-homogêneo, propor uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados e, após substituir, obter o sistema de equações (para as constantes vetoriais que aparecem no ansatz) que precisa ser resolvido. O enunciado pede explicitamente para não resolver esse sistema final.
Informações relevantes dadas:
Matriz dos coeficientes (a partir dos termos lineares) e o termo não-homogêneo
Reescrevemos o sistema em forma matricial (isso fica mais organizado e é o jeito padrão):
\frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x}+\mathbf{g}(t),
onde A e \mathbf{g}(t) foram dados no passo anterior. Primeiro vamos tratar o sistema homogêneo
\frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x}.
Para resolver um sistema linear homogêneo com coeficientes constantes usamos autovalores e autovetores de A. Vou mostrar como calcular o polinômio característico, os autovalores e, no caso de autovalores complexos, como obter duas soluções reais independentes a partir de um autovetor complexo.
Passo 3
Cálculo do polinômio característico de A. O polinômio é \det(A-\lambda I):
Agora descrevo como usar esse autovetor complexo para obter soluções reais do sistema.]
Passo 5
Se \lambda=\alpha+i\beta é um autovalor com autovetor complexo \mathbf{v}=\mathbf{a}+i\mathbf{b} (com \mathbf{a},\mathbf{b} vetores reais), então a solução complexa
onde C_{1},C_{2} são constantes reais arbitrárias.
(Dica rápida: é sempre assim quando os autovalores aparecem em conjugado; a exponencial e^{\alpha t} regula o decaimento/crescimento, e os cossenos/senos vêm da parte imaginária.)]
Passo 6
Agora vamos ao sistema não-homogêneo e ao método dos coeficientes indeterminados. A ideia: propor um ansatz (uma forma para a solução particular) que antecipe a forma do termo forçante \mathbf{g}(t). Nosso \mathbf{g}(t)=\begin{pmatrix}2t\\[4pt]e^{t}\end{pmatrix} é soma de uma função polinomial (2t) e de uma exponencial (e^{t}). Então propomos uma solução particular como soma de uma parte polinomial (grau 1) e uma parte exponencial:
Observação sobre ressonância: se e^{t} correspondesse a um autovalor de A (isto é, se 1 fosse autovalor), precisaríamos multiplicar por t termos do tipo e^{t} no ansatz. Aqui os autovalores são -1\pm i, portanto 1 não é autovalor e a forma \mathbf{d}e^{t} é adequada.]
Passo 7
Substituímos o ansatz na equação diferencial. Primeiro calculo a derivada:
Agora agrupamos os termos pelo tipo de dependência em t: termos em t, termos constantes e termos em e^{t}.
Coeficiente de t: do lado esquerdo não há termo em t, do lado direito aparecem A\mathbf{c}_{1}\,t e o termo \begin{pmatrix}2t\\[4pt]0\end{pmatrix} (extraído de \mathbf{g}(t)). Igualando coeficientes de t obtemos a equação vetorial
Coeficiente de e^{t}: do lado esquerdo aparece \mathbf{d}\,e^{t}; do lado direito aparece A\mathbf{d}\,e^{t} e também o termo \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{t} vindo de \mathbf{g}(t). Igualando os coeficientes de e^{t} obtemos
Essas três equações vetoriais são o sistema que precisa ser resolvido para encontrar \mathbf{c}_{1},\mathbf{c}_{0},\mathbf{d}. O enunciado pede que não resolvamos, então paramos aqui com o sistema montado.]
Passo 8
Para deixar o sistema mais explícito, escrevo as equações usando a matriz A conhecida:
a segunda dá duas equações lineares para b_{1},b_{2} em função de a_{1},a_{2}, e a terceira é um sistema linear para k_{1},k_{2}. Mas, conforme pedido, não resolvemos essas equações aqui; apenas as apresentamos como o sistema que determina as constantes do ansatz.]
Resposta
(a) \displaystyle \mathbf{x}_{h}(t)=C_{1}\,e^{-t}\!\left(\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}\cos t-\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}\sin t\right)
+ C_{2}\,e^{-t}\!\left(\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}\sin t+\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}\cos t\right), com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.\n
(b) Propondo \displaystyle \mathbf{x}_{p}(t)=\mathbf{c}_{1}t+\mathbf{c}_{0}+\mathbf{d}e^{t} com \mathbf{c}_{1},\mathbf{c}_{0},\mathbf{d}\in\mathbb{R}^{2}, obtemos o sistema para as constantes: