Encontre a equação de um círculo de raio 3 que seja tangente ao gráfico da função dada por f(x)=\cos (x / 2) no ponto (4 \pi / 3, f(4 \pi / 3))=(4 \pi / 3,-1 / 2).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a(s) equação(ões) de um círculo de raio 3 que seja tangente ao gráfico da função f(x)=\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right) no ponto \left(\tfrac{4\pi}{3},f\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)\right)=\left(\tfrac{4\pi}{3},-\tfrac{1}{2}\right).
Informações dadas e que vamos usar:
x_0=\tfrac{4\pi}{3},\qquad y_0=f\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2},\qquad r=3.

Passo 2

Entender o que significa “círculo tangente ao gráfico num ponto”. Quando um círculo é tangente a uma curva num ponto, a reta tangente à curva nesse ponto coincide com a reta tangente ao círculo nesse ponto. Para um círculo, a reta tangente é perpendicular ao raio que liga o centro do círculo ao ponto de tangência. Portanto: o centro do círculo deve estar sobre a reta normal à curva (a reta perpendicular à tangente) que passa por \left(\tfrac{4\pi}{3},-\tfrac{1}{2}\right), e a distância do centro a esse ponto deve ser igual a r=3. Esses dois fatos serão a base das equações que vamos montar.

Passo 3

Calcular a inclinação da tangente à curva no ponto. Precisamos da derivada de f.
Explicando a regra usada: f(x)=\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right). Pela regra da cadeia, a derivada de \cos(u) é -\sin(u) vezes a derivada de u. Aqui u=\tfrac{x}{2} tem derivada \tfrac{1}{2}. Portanto
f'(x)=-\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Agora avaliamos em x_0=\tfrac{4\pi}{3}. Primeiro calcule \tfrac{x_0}{2}=\tfrac{4\pi}{3}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{2\pi}{3}. Sabemos que \sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo
f'\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=-\tfrac{\sqrt{3}}{4}.
Esse valor é a inclinação da reta tangente à curva no ponto.

Passo 4

A inclinação da normal (reta perpendicular à tangente) é o negativo do recíproco da inclinação da tangente. Explicando: se a tangente tem inclinação m_t, uma reta perpendicular tem inclinação m_n tal que m_t\cdot m_n=-1. Assim
m_t=-\tfrac{\sqrt{3}}{4}\quad\Rightarrow\quad m_n=-\frac{1}{m_t}=-\frac{1}{-\tfrac{\sqrt{3}}{4}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.
Portanto a equação da reta normal que passa por (x_0,y_0) é
y - \left(-\tfrac{1}{2}\right)=\frac{4}{\sqrt{3}}\big(x-\tfrac{4\pi}{3}\big),
ou seja,
y+\tfrac{1}{2}=\frac{4}{\sqrt{3}}\big(x-\tfrac{4\pi}{3}\big).

Passo 5

Representar o centro do círculo (h,k) como um ponto sobre essa reta normal. Podemos escrever
k - y_0 = m_n (h - x_0).
Também o centro deve satisfazer a condição de distância ao ponto de tangência:
(h-x_0)^2+(k-y_0)^2=r^2=9.
Substituindo k-y_0=m_n(h-x_0) na equação da distância obtemos:
(h-x_0)^2 + \big(m_n(h-x_0)\big)^2 = 9.

Passo 6

Fatorando (h-x_0)^2:
(h-x_0)^2\big(1+m_n^2\big)=9.
Calculamos m_n^2. Como m_n=\tfrac{4}{\sqrt{3}},
m_n^2=\frac{16}{3},\qquad 1+m_n^2=1+\frac{16}{3}=\frac{19}{3}.
Então
(h-x_0)^2=\frac{9}{1+m_n^2}=\frac{9}{19/3}=\frac{27}{19}.
Portanto
h-x_0=\pm\sqrt{\frac{27}{19}}=\pm\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{19}}.

Passo 7

Encontrar k-y_0 usando k-y_0=m_n(h-x_0). Assim
k-y_0=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\left(\pm\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{19}}\right)=\pm\frac{12}{\sqrt{19}}.

Passo 8

Agora escrevemos explicitamente os dois possíveis centros. Lembrando x_0=\tfrac{4\pi}{3} e y_0=-\tfrac{1}{2},
(h,k)=\Big(\tfrac{4\pi}{3}\pm\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{19}},\; -\tfrac{1}{2}\pm\frac{12}{\sqrt{19}}\Big).
Ou, se preferir racionalizar denominadores (alternativa válida),
\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{3\sqrt{57}}{19},\qquad \frac{12}{\sqrt{19}}=\frac{12\sqrt{19}}{19},
mas não é necessário para a resposta.

Passo 9

A equação do círculo com centro (h,k) e raio 3 é
(x-h)^2+(y-k)^2=9.
Substituindo os centros obtidos, temos duas equações de círculos distintos (um para o sinal + e outro para o sinal -).

Resposta

\bigg(x-\Big(\tfrac{4\pi}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{19}}\Big)\bigg)^2+\bigg(y-\Big(-\tfrac{1}{2}+\frac{12}{\sqrt{19}}\Big)\bigg)^2=9
\bigg(x-\Big(\tfrac{4\pi}{3}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{19}}\Big)\bigg)^2+\bigg(y-\Big(-\tfrac{1}{2}-\frac{12}{\sqrt{19}}\Big)\bigg)^2=9

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