Encontre a equação de um círculo de raio 3 que seja tangente ao gráfico da função dada por
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a(s) equação(ões) de um círculo de raio
que seja tangente ao gráfico da função
no ponto
.
Informações dadas e que vamos usar:
Passo 2
Entender o que significa “círculo tangente ao gráfico num ponto”. Quando um círculo é tangente a uma curva num ponto, a reta tangente à curva nesse ponto coincide com a reta tangente ao círculo nesse ponto. Para um círculo, a reta tangente é perpendicular ao raio que liga o centro do círculo ao ponto de tangência. Portanto: o centro do círculo deve estar sobre a reta normal à curva (a reta perpendicular à tangente) que passa por
, e a distância do centro a esse ponto deve ser igual a
. Esses dois fatos serão a base das equações que vamos montar.
Passo 3
Calcular a inclinação da tangente à curva no ponto. Precisamos da derivada de
.
Explicando a regra usada: . Pela regra da cadeia, a derivada de
é
vezes a derivada de
. Aqui
tem derivada
. Portanto
Explicando a regra usada:
Agora avaliamos em
. Primeiro calcule
. Sabemos que
. Logo
Esse valor é a inclinação da reta tangente à curva no ponto.
Passo 4
A inclinação da normal (reta perpendicular à tangente) é o negativo do recíproco da inclinação da tangente. Explicando: se a tangente tem inclinação
, uma reta perpendicular tem inclinação
tal que
. Assim
Portanto a equação da reta normal que passa por
é
ou seja,
Passo 5
Representar o centro do círculo
como um ponto sobre essa reta normal. Podemos escrever
Também o centro deve satisfazer a condição de distância ao ponto de tangência:
Substituindo
na equação da distância obtemos:
Passo 6
Fatorando
:
Calculamos
. Como
,
Então
Portanto
Passo 7
Encontrar
usando
. Assim
Passo 8
Agora escrevemos explicitamente os dois possíveis centros. Lembrando
e
,
Ou, se preferir racionalizar denominadores (alternativa válida),
mas não é necessário para a resposta.
Passo 9
A equação do círculo com centro
e raio
é
Substituindo os centros obtidos, temos duas equações de círculos distintos (um para o sinal
e outro para o sinal
).