Questão 3. Considere um sistema de tempo LTI de tempo contínuo e causal com a seguinte funçīo de transferência:
a) Determine a equação de diferenças que relaciona a entrada com a saída desse sistema.
b) O sistema será estável? Justifique sua resposta.
c) Determine a saída do sistema quando a entrada é o degrau unitário.
b) O sistema será estável? Justifique sua resposta.
c) Determine a saída do sistema quando a entrada é o degrau unitário.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência do sistema contínuo, causal e LTI:
As perguntas são:
(a) Determine a equação que relaciona a entrada com a saída (em domínio do tempo).
(b) O sistema é estável? Justifique.
(c) Determine a saída quando a entrada é o degrau unitário (assumir condições iniciais nulas).
(a) Determine a equação que relaciona a entrada com a saída (em domínio do tempo).
(b) O sistema é estável? Justifique.
(c) Determine a saída quando a entrada é o degrau unitário (assumir condições iniciais nulas).
Informações relevantes fornecidas:
sistema causal e tempo contínuo (logo podemos usar propriedades da transformada de Laplace e a correspondência
operador de diferenciação quando as condições iniciais são nulas).
Passo 2
Transformada de Laplace e correspondência com derivadas temporais — explicação pedagógica curta:
- Para sinais causais com condições iniciais nulas, a transformada de Laplace converte derivadas em multiplicação por
: a transformada de é (se as condições iniciais são zero) e a de é . - Assim, uma relação algébrica em
entre e pode ser trazida ao domínio do tempo substituindo por operadores de diferenciação.
Começamos escrevendo a relação entre
e
:
Passo 3
Passando para o domínio do tempo (assumindo condições iniciais nulas) usando
:
-
corresponde a . -
corresponde a . - Analogamente para
.
Portanto a equação diferencial que relaciona entrada
e saída
é
Aqui expliquei cada termo: o coeficiente de
vem de
, o de
vem de
e assim por diante; do lado direito o mesmo para
.
Passo 4
Verificação dos polos e estabilidade — teoria e aplicação:
- Para um sistema LTI contínuo e causal, a estabilidade BIBO ocorre se e somente se todos os polos da função de transferência têm parte real negativa (estão no semiplano esquerdo).
- Os polos são as raízes do denominador
Calcule as raízes:
As partes reais são
(negativas), logo os polos estão no semiplano esquerdo. Portanto o sistema é BIBO estável.
Passo 5
Determinar a resposta ao degrau unitário — método via transformada de Laplace e frações parciais:
- A entrada degrau unitário tem transformada
- Logo
Fazemos decomposição em frações parciais da forma
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Expandindo e agrupando:
Comparando coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Então
Logo
Passo 6
Preparar a inversa de Laplace — completar quadrado no denominador e reescrever numerador:
- Observe que
Reescrevemos o numerador da segunda fração em termos de
:
Portanto
Use as transformadas padrões:
-
. -
. - Note que
, então corresponde a quando invertida.
Aplicando inversa de Laplace termo a termo:
- Primeiro termo:
dá (para ). - Segundo termo:
dá . - Terceiro termo:
dá .
Somando tudo, para
:
Resposta
(a)
.
(b) Sim. Os polos são (parte real
), portanto o sistema é BIBO estável.
(c) Para entrada degrau unitário e condições iniciais nulas,
(b) Sim. Os polos são
(c) Para entrada degrau unitário